《数学建模-减肥计划.docVIP

数 学 建 模 姓名:林兴焕 班级:轻化工程 学号:1090212105 问题背景：在国人初步进入小康社会以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标。医生和专家建议，只有通过控制饮食和适当运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减肥并维持的目的。故研究方向：建立体重变化规律的模型，并由此通过节食和运动制定合理的减肥计划。 模型分析：人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致体重增加。又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。以不伤害自身为前提，进行减肥。 模型假设： 体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加1kg（1kcal=4.2kj）； 正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal~320kcal，且因人而异； 运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg,每周吸收热量不少于10000kcal。 基本模型： 记第k周末体重为ω(k)，第k周吸收 的热量为c(k)； 热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)]，代谢消耗系数β （因人而异） 1.无运动情况下，体重的基本方程为 ω（k+1）= ω(k)+αc(k+1)- βω(k)， 其中k=1，2, 3··· 2. 增加运动时，只需把β改为β+β1， β1由运动的类型和运动时间有关。基本方程为 ω（k+1）= ω(k)+αc(k+1)- （β+β1）ω (k)， 其中k=1，2, 3··· 减肥计划提出：我们制定一个减肥计划来讨论基本模型。 BMI为体重指数。BMI定义为体重除以身高的平方。规定BMI在18.5~24为正常，24~29为超重，大于29为肥胖。 事例：某甲身高1.7m，体重100kg,BMI高达34.6.该人目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。试为他按以下方式制定计划，使其体重降到75千克并维持下去 在其不运动的情况下，安排一个两阶段的计划，第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收的热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸收的热量保持下限，减肥达到目标。 若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排第二阶段计划。 给出达到目标后维持方案。 建立模型: 先确定甲的代谢消耗系数β。 根据他每周吸收的热量c=20000kcal，体重ω=100kg 代入 式子 ω（k+1）= ω(k)+αc(k+1)- βω(k) ω(k)= ω(k+1) , β=αc/ω=20000*(1/8000)/100=0.25 每周每千克体重消耗热量为 20000/100=200kcal。从假设2知，甲的代谢消耗很弱，所以吃得多必将导致他变胖。 第一阶段 要求每周减少b=1kg,吸收热量减至下限cmin=10000kcal 即 ω(k)- ω(k+1)=1 ，ω(0)- ω(k)=bk 代入 ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1) -βω(k) 得 c(k+1)=(1/α)[β*ω(k) - b] = (β/α) *ω(0) - (b/α)*(1+βk) 根据α,β,b, cmin已知，有 c(k+1)=12000-200k≥ cmin=10000 得k ≤10,即第一阶段共10周，按照c(k+1)=12000-200k吸收热量，可使体重每周减1kg，至第10周末可减至90kg。 第二阶段 要求每周吸收热量保持下限cmin，由基本模型得 ω(k+1)=ω(k)+αcmin -βω(k)=(1-β) ω(k)+αcmin 要得到减至75kg所需周数，可将上式递推得 ω(k+n)=(1-β)^n*ω(k)+αcmin[1+(1-β)+(1-β)^2+ (1-β)^3+···+ (1-β)^(n-1)]= (1-β)^n * [ω(k)- αcmin/β]+ αcmin/β 已知ω(k)=90, α,β, cmin，求ω(k+1)=75，由上式得: 75=（0.975^n )* (90-50)+50 解得n=19,即每周吸收热量保持在下限，再过19周就可减至75kg。