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數學本質概念─機率 數學結構 機率的開始 1651年夏天，法國數學兼物理學家巴斯卡(Pascal, 1623-1662)在旅行途中，偶然遇到一位叫梅雷(Mere)的貴族，他是一位賭場的高手。為了消磨旅途的寂寞，梅雷與巴斯卡聊起在賭場中曾經遇到一個非常有趣的賭金分配問題。 ?梅雷說有一次他與某賭友(以下代稱A先生)擲骰子時，各押32個金幣為賭注，雙方約定如果誰先贏得3局，就可以把賭金全部拿走，但因為梅雷臨時有事，所以賭局不得不中途中斷。此時梅雷已經贏得2局，而A先生只贏1局，兩個人為了如何公平分配賭金有所爭執。?A先生認為只要他再贏2局或梅雷再贏1局即可把賭金拿走，因此他有權拿走全部賭金的1/3，而梅雷可拿走全部賭金的2/3。但梅雷卻認為，即使下一局A先生贏了，也只是處於平手狀況，因此他有權拿走全部賭金的1/2，而在下下一局雙方皆有一半贏的機會，因此梅雷又可以再拿走剩下賭金的1/2，所以最後A先生可以拿走全部賭金的1/4，而梅雷可拿走全部賭金的3/4，那麼誰說的是對的呢? ?梅雷提出這個分賭注的問題，引起巴斯卡的興趣，在百思不得其解之後，於1654年時，巴斯卡寫信去問費馬(Fermat, 1601-1665)這個問題，因此展開雙方有名的書信往來過程，開啟日後機率論的起源。 ?針對這個問題，因為梅雷已贏得2局，而A先生只贏1局，直覺來說應該將賭金平分成3份，而梅雷得其中2份，A先生得其中1份，但由下圖可以得知，事實並非如此。 ?????? 　 動畫引用自：.tw/ProbHistory/1654.swf 機率的理論 重複作一試驗若干次，有些事件會出現較多次，有些事件出現的次數則較少。例如，撲克牌裡的梭哈遊戲，52張牌，每人發5張。則長期觀察後，發現同花比四條出現的相對頻率高。這種事件出現的相對頻率，可以用來解釋機率。機率較大的事件，出現的相對頻率便較高。不過對機率的解釋，並不只限於相對頻率的解釋，主觀的解釋也是一種。也就是視機率為一事件之相信程度。 ?????? 在數學裡給兩個數字0.3及0.5。不用去問0.3或0.5的含義，而且毫無疑問的0.50.3。但在機率裡，如果說有兩個銅板A與B，出現正面的機率各為0.3及0.5，所代表的意義究竟為何？各丟一百次，銅板A是否出現30次？顯然不一定。那銅板B出現正面的次數是否會較銅板A多？顯然也不一定。由0.50.3，並無法轉換成出現正面的次數較多。所以如何解釋機率，並非一簡單的問題。對於機率，不能用表面的數學來看它。 ????? 機率的定義，大致可分為下列三種: 1. 將機率的概念以相同的可能性來解釋，此為古典的定義。 2. 以在多次重覆實驗後，一事件出現的頻率來表示機率，此即統計的定義，或客觀的解釋。 3. 以觀察者對一事件的相信程度來定義機率，此即主觀的觀點。 我們先由賽局來探討機率。考慮一結果為有限個可能中之任一的賽局，大多數的紙牌遊戲均屬此種，我們想建立關於這種賽局的數學模式，並導出一些簡單的性質，此機率的模式稱為古典的模式。 ????? 給定一賽局為投擲一骰子一次，則樣本空間 ，而出現奇數的事件。則我們定義A之機率為 ，其中表示A中不同元素的個數，表示S中不同元素的個數。 因此，在古典的模式中，一事件之機率，為此事件中之元素個數除以全部可能之個數，以丟骰子為例，會得到一奇數的機率為 　。 因此我們有以下的定義： [古典機率] 設為個樣本點的樣本空間，且樣本空間中各基本事件出現的機會均等。 若為一事件，則事件 A發生的機率為 A之元素個數與之比，記為 其中與分別表示 A與 S之元素個數。古典的模式不夠一般性，因為它無法用來描述一有無限可能性的結果的實驗。 以頻率來解釋機率，必須針對的是可以重複做實驗的事件，如丟銅板等。 由於是基於實驗的結果，與觀察者是誰無關，因此又稱為客觀的解釋。　 ?????? 由於並非只考慮一次實驗的結果，而是關於一數列條件相同下之實驗結果。因此，若以頻率的角度來定義機率，可以下列方式定義之。 一實驗實行次，若出現事件之次數為，當實驗次數趨近於無限時事件發生的比例，即定義為事件發生的機率。 而主觀的解釋有時也會根據過去客觀的事實來決定，只是即使擁有相同的資料，不同的人對同一事件，有時也會給出不同的主觀機率。 例如探討明天很可能下雨這個事件， 我們必會面臨一個問題，因為大多數主觀的機率的敘述都是定性的，而非定量的。若我們想使主觀的解釋， 適用於機率的數學理論，我們就必須將主觀的機率敘述數量化，一個方法是將它們與賭局連上關係。 ?????? 令A表示一事件，考慮下述賭局：每賭一次要付元，若A發生則得１元，否則什麼都得不到。 即若A發生淨得元，若A沒發生損失元，若在此賭局中，事件A發生與不發生之機會為比， 則我們視此賭局為公正.若存在唯一