5第五章 留数5第章 留数.docVIP

第五章 留数定理 留数定理是柯西积分理论的继续，可以说，它进一步展现了复变函数积分的细节内情，使我们对复积分有了更深刻的认识。 §5.1 孤立奇点 若在点的某一去心邻域内解析，但在点不解析，则称为的孤立奇点。若是的一个奇点，且在点的无论多么小的邻域内总还有除点外的其它奇点，则称点为的非孤立奇点。 例如，为的孤立奇点，为的非孤立奇点。 去心邻域可看作内圆周缩为一点的环域。若为的一个孤立奇点，则总存在着正数，使得在点的去心邻域内可展成洛朗级数。这里的正数，显然最大可取为与的离最近的一个奇点间的距离。在孤立奇点去心邻域内的洛朗展开，有时也称为在孤立奇点的洛朗展开。 1.孤立奇点的分类 设为函数的有限孤立奇点，在去心邻域内的洛朗展式为 。 前面已知，右边第二个级数称为在点的解析部分，其和函数在包括点的邻域内是解析的，故在点的奇异性质完全体现在的洛朗展式的负幂项部分，所以从出现奇异性来说，我们称为在点的主要部分。 根据主要部分仅可能出现三种情况，将的有限孤立奇点作如下分类： 定义5.1.1：设为的有限孤立奇点。 （1）若在点的主要部分为零，则称为的可去奇点。 （2）若在点的主要部分为有限多项，设为 ， 则称为的阶极点。一阶极点也称为简单极点。 （3）若在点的主要部分有无限多项，则称为的本性奇点。 【注】：定义中的第（1）种情形为什么叫可去奇点？其由来是：因主要部分为零，函数在可去奇点去心邻域内的洛朗展式只有非负幂项的解析部分 ， 前面已知，这解析部分的和函数在包括点的邻域内解析，。于是在内，当我们适当补充或改变在点的定义，令之后，在邻域内就没有奇点了。这就是可去奇点名称中“可去”的由来。 下面几个在洛朗展式基础上证明的定理，分别描述了解析函数在三类有限孤立奇点附近的性态，也给出了各类奇点的判别法。 定理5.1.1：若为的孤立奇点，则下列两条中的每一条都是为阶极点的充要条件： （1）在点的主要部分为 ； （2）在点的某去心邻域内能表成， 其中在点的邻域内解析，且； 2.解析函数在有限孤立奇点的性质 定理5.1.2：若为的孤立奇点，则下列三条中的每一条都是为可去奇点的特征（即每一条都是为可去奇点的充要条件）： （1）在点的主要部分为零； （2）（有限复数）； （3）在点的某去心邻域内有界。 定理5.1.3：的孤立奇点为极点。 定理5.1.4：的孤立奇点为本性奇点不存在有限或无限的极限。 3.解析函数的零点与极点的关系 定义5.1.2：设函数在点的某邻域内解析。若，则称为解析函数的零点。若，但，则称为解析函数的阶零点。特别，当时，也称为的简单零点。 若在邻域内解析，不恒为零，则为的阶零点时，在内的泰勒展式形式为 。 右端提取公因式，并记，容易证明在邻域内解析，且。于是在邻域内有 。 反之，当在内解析，并能表成上述形式时，由泰勒定理中的关系式，立即可知为的阶零点。这样我们就证明了下述定理： 定理5.1.5：不恒为零的解析函数以为阶零点在点的邻域内 ， 其中在邻域内解析，且。 解析函数的零点与极点，有如下关系： 定理5.1.6：若为的孤立奇点，则为阶极点的充要条件是为的可去奇点，将作为的解析点看待，为的阶零点。 4.解析函数在无穷孤立奇点的性质 定义5.1.3：若函数在无穷远点去心邻域内解析，则称点为的一个孤立奇点。若点是的奇点的聚点，则点是的非孤立奇点。 定义5.1.4：设为的孤立奇点，作倒数变换后有 。 若为的可去奇点（视为解析点），则称为的可去奇点（解析点）；若为的阶极点，则称为的阶极点；若为的本性极点，则称为的本性极点。 我们可按广义连续性来定义函数在点处的值：定义。同样虽在点处没有定义差商，从而没有定义函数在无穷远点处的可微性，但现在有了定义5.1.4之后，今后我们称在点解析，其意义是指：点为的可去奇点，且定义。 设由上面式确定的在去心邻域内的洛朗展式为 ， 换回到变量，即令，就得到在无穷远点去心邻域内的洛朗展式 , (5.1.1) 其中，即在原点去心邻域的展式中的负幂项系数，与在无穷远点去心邻域的展式中的相应正幂项系数相等,而前者展式中的正幂项系数与后者负幂项相应系数相等。根据这个关系，应用对有限孤立奇点的讨论结果，我们得知， 就洛朗展式看： 可去奇点展式(5.1.1)中不含的正次幂， 为的 阶极点展式(5.1.1)中只有有限个正次幂，且最高次幂为， 本性奇点展式(5.1.1)中有无限多个正次幂。 就函数的极限值看： 可去奇点（有限复数）， 为的 阶极点， 本性奇点不存在。 §5.2