高中数学2.3.2 双曲线的几何性质.docVIP

§2.3.2双曲线的几何性质 要点精讲 1.本节用的,c,e的几何,c,e之间的研究曲线的范围运y解出来，通过研究定义域、值域确定双曲线的范围(当然应x轴上方、下方)．‘‘离心率’’这个名词是很形象的：在固定后，焦点距离中心越远， 范围 在不等式x≥a与x≤－a“所表示 的区域内 对称性 关于坐标轴x轴、y轴对称， 关于原点对称 坐标轴是双曲线的对称轴 顶点 双曲线的顶点Al(－a，0)，A2(a，0)，双曲线的实轴长是2a，虚轴长是2b 线段A1A2、线段B1B2分别叫做双曲线的实轴和虚轴，a，b分别叫做双曲线的实半轴长和虚半轴长 渐近线 双曲线的各支向外延伸，与两条直线y=x和 y=－x逐渐接近 两条直线y=±叫做双曲线的渐近线 离心率 e＞l， 离心率越大，双曲线的开口越大 e=叫做双曲线的离心率 典型题解析 【例1】双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，且与圆x2＋y2＝5交于点P(2,－1)，如果圆在点P的切线恰平行于双曲线的左顶点与虚轴一个端点的连线，求双曲线的方程． 【解析】 【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦距为16，准线方程为； (2)虚轴长为12，离心率为； (3)顶点间的距离为6，渐近线方程为． 【分析】要求双曲线的标准方程，首先判断其焦点所在的坐标轴，然后求其标准方程中待定的a和b． 【解】（１）由准线方程为，可知双曲线的焦点y在轴上, 设所求双曲线的方程为 由题意，得　　 解得，　．所以　　． 因此，所求双曲线的方程为． （２）当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1．由题意， 得解得，．　 　∴．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为 ． 同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为． 因此，所要求的双曲线的方程为和． （3）方法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为=1 由题意，得　　　解得，． 所以焦点在x轴上的双曲线的方程为． 同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为． 因此，所要求的双曲线的方程为和． 方法二：设以为渐近线的双曲线的方程为 当＞０时，，解得，＝． 此时，所要求的双曲线的方程为．当＜０时，，解得，＝－１． 此时，所要求的双曲线的方程为．因此， 所要求的双曲线的方程为和． 【点评】已知渐近线方程为,可设双曲线,然后用待定系数法试求. 【例3】(1)求证：双曲线与双曲线有共同的渐近线． (2)求与双曲线有共同的渐近线·且经过点M(3，－2)的双曲线方程． 【解析】 【例4】一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在 B处迟2 s．若声速为340 rn／s． (1)爆炸点在什么曲线上? (2)已知A，B两地相距800 m，试求这条曲线的方程． 【解析】 (1)设M为爆炸点，由题意得MA－MB=340×2=680． 因为爆炸点离A点比离B点距离更远，所以爆炸点在以A，B为焦点且距B较近的双曲线的一支上(如图)． (2)如图，以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴 建立直角坐标系xoy．设M(x，y)为曲线上一点．由于MA－MB =680，得2a=680，即a=340． 由于AB=800，得2c=800，即c=400．所以b2=c2－a2=44400 MA－MB=6800，所以x＞0． 因此，所求曲线的方程为 ―=1(x＞0) 【点评】确定爆炸点或出事地点的位置，在军事上或抢险救灾时都有重要作用．从本例看出，利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置．要有几个观测点才能确定爆炸点的位置呢? 如果再增设一个观测点 C，利用 B、C（或 A、 C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的方程、性质在实际问题中的应用． 【例5】已知：双曲线的两条渐近线的夹角为2 ,离心率为e．求证：cos． 【分析】 【解】 【例6】如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围. 【解析】如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称． 依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高． 由定比分点坐标公式得 ， 设双曲线的方程为，则离心率． 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ， ① ② , 由①式得 ③ . 将③式代入②式，整理得 ，故