极限四则运算法则.docVIP

极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若，则存在，且。 证明： 只证，过程为，对，当 时，有，对此，，当时，有，取，当时，有 所以。 其它情况类似可证。 注：本定理可推广到有限个函数的情形。 定理2：若，则存在，且 。 证明：因为， （均为无穷小），记 ， 为无穷小， 。 推论1：（为常数）。 推论2：（为正整数）。 定理3：设，则。 证明：设（为无穷小），考虑差： 其分子为无穷小，分母，我们不难证明有界（详细过程见书上）为无穷小，记为，所以， 。 注：以上定理对数列亦成立。 定理4：如果，且，则。 【例1】。 【例2】。 推论1：设为一多项式，当 。 推论2：设均为多项式，且，则。 【例3】。 【例4】（因为）。 注：若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。 【例5】求。 解：当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子， 所以 。 【例6】求。 解：当全没有极限，故不能直接用定理3，但当时， ，所以 。 【例7】求。 解：当时，，故不能直接用定理5，又，考虑：， 。 【例8】若，求a,b的值。 当时，，且 【例9】设为自然数，则 。 证明：当时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形： 【例10】求。 解：当时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形： 原式。 【例11】证明为的整数部分。 证明：先考虑，因为是有界函数，且当时，，所以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得 。