2009届高三数学第二轮复习（空间位置关系与证明).docVIP

第二十三讲 空间位置关系与证明 ★★★高考在考什么 【考题回放】l及平面(，条件“直线l与平面(内无数条直线都垂直”是“直线l与平面(垂直”的（ C ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 2、（2008安徽卷4）．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（D ） A． B． C． D． 3、（2008湖南卷5）设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是( D ) A.若m∥,n∥,则m∥n B.若m,n,m∥,n∥,则∥ C.若，m,则m D.若，m，m,则m∥ 4、（2008福建卷6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为D A. B. C. D. 5（2008全国一18）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小． 解：（1）取中点，连接交于点， ，， 又面面，面， ． ， ，，即， 面，． （2）在面内过点作的垂线，垂足为． ，，面，， 则即为所求二面角的平面角． ，，， ，则， ，即二面角的大小． 6、（2008安徽卷）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点 （Ⅰ）证明：直线； （Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。 方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE 又 （2） 为异面直线与所成的角（或其补角） 作连接 ， 所以 与所成角的大小为 （3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q， 又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ， ，所以点B到平面OCD的距离为 方法二(向量法) 作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系 , (1) 设平面OCD的法向量为,则 即 取,解得 (2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为 (3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为 ★★高考要考什么 线与线的位置关系:平行、相交、异面； 线与面的位置关系:平行、相交、线在面内； 面与面的位置关系:平行、相交； 二．转化思想 ；【范例1】中，底面，，，是的中点． （Ⅰ）证明； （Ⅱ）证明平面； （Ⅲ）求二面角的大小． （Ⅰ）证明：在四棱锥中， 因底面，平面，故． ，平面． 而平面，． （Ⅱ）证明：由，，可得． 是的中点，． 由（Ⅰ）知，，且，所以平面． 而平面，． 底面在底面内的射影是，，． 又，综上得平面． （Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则． 因此是二面角的平面角． 由已知，得．设， 可得． 在中，，， 则． 在中，． 解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为． 过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角． 由已知，可得，设， 可得． ，． 于是，． 在中，． 所以二面角的大小是． 所以二面角的大小是． 变式：如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱． （1）证明//平面； （2）设，证明平面．：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM. 在矩形ABCD中，，又，则， 连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形. 又平面CDE， EM平面CDE， FO∥平面CDE （Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中， 且. 因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF. 【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。【范例】中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面 ，平面，． （Ⅰ）求证：与共面，与共面． （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求二面角的大小（用反三角函数值表示）． 证明：以为原点，以所在直线分别为轴， 轴，轴建立空间直角坐标系如图， 则有． （Ⅰ）证明： ． ． 与平行，与平行， 于是与共面，与共面． （Ⅱ）证明：， ， ，． 与是平面内的两条相交直线． 平面． 又平面过． 平面平面． （Ⅲ）解：． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． 设为平面的法向量， ，． 于是，取，则，． ． 二面角的大小为． 解法2（综合法）： （Ⅰ）证明：平面，平面． ，，平面平面． 于是，． 设分别为的中点，连结， 有． ， 于