2009届高三数学第二轮复习( 数列求和）.docVIP

第七讲 数列求和 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知等差数列满足，，则它的前10项的和（ C ） A．138 B．135 C．95 D．23 2.(2008陕西文、理)已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（B） A．64 B．100 C．110 D．120 3. （北京卷）设，则等于（ D ） A. B. C. D. 4. （天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　） A．55　　　　 B．70　　　　　C．85　　　　　D．100 解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于，，∴ =，选C. 5． (2008湖北理)已知函数f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为2.若f(a2+a4+ab+a2+a1)=4,则 Log2[f(a1)·f(a2)·f(a)·…·f(a10)]= -6 . (2008重庆理)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= -72 . 6、(2008全国Ⅰ卷文)在数列中，，． （Ⅰ）设．证明：数列是等差数列； （Ⅱ）求数列的前项和． 解：（1），，， 则为等差数列，，，． （2） 两式相减，得 7、(2008全国Ⅱ卷文) 等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和． 解：设数列的公差为，则 ， ， ． 由成等比数列得， 即， 整理得， 解得或． 当时，． 当时，， 于是． 9、(2008陕西文)已知数列的首项，，…． （Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）数列的前项和． 解：（Ⅰ） ， ， ，又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，． 设…， ① 则…，② 由①②得 …， ．又…． 数列的前项和 ． 　★★★高考要考什么 1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。 公比含字母时一定要讨论 (理)无穷递缩等比数列时， 2．错位相减法求和：如： 3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 4．合并求和：如：求的和。 5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项： 6．公式法求和 7．倒序相加法求和 ★★ 突 破 重 难 点 【范例】满足，． （Ⅰ）求数列的通项； （Ⅱ）设，求数列的前项和． 解 (I) 验证时也满足上式， (II) ， ① ② ①-② ： ， 【变式】已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式； （Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m； 点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝， 故Tn＝＝＝（1－）. 因此，要使（1－）（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10. 【范例】中的相邻两项是关于的方程的两个根，且． （I）求，，，； （II）求数列的前项和； （Ⅲ）(理)记，， 求证：． （I）解：方程的两个根为，， 当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以时； 当时，，，所以． （II）解：． （III）证明：， 所以，． 当时，， ， 同时， ． 综上，当时，． 【变式】在数列中，，，． （Ⅰ）证明数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立． Ⅰ）证明：由题设，得，． 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为． 所以数列的前项和． （Ⅲ）证明：对任意的， ． 所以不等式，对任意皆成立． 【点睛】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力． 【范例】a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… 证明数列｛lg(1