《数学分析第3章.pptVIP

从而由定义1 的条件2 可得 因为 {an} 递增, {bn} 递减, 所以 设 这样就证明了 的存在性. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 现在证明 是唯一的 。 推论 若 是区间套 所确定的点 , ( ) [ ] [ ] Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证 由区间套定理的证明可得: 由极限的保号性, 对于任意正数 ? , 存在 N, 则任给? 0, 存在 N, 当 n ? N 时, 推论 设 {[an ,bn]} 是一个区间套, 现在证明 是唯一的 。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 但是定理1中的? 是不存在的, 这是因为 证明过程, 哪一步通不过? 的 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记. 注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结 论不一定成立. 例如对于开区间列 , 显然 即 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 注1 区间套定理中要求各个区间都是闭区间. 但不存在属于所有开区间的公共点。 注2 区间套定理在有理数域不一定成立。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 五、致密性定理 1 聚点定理 设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S， 也 可以不属于S）。 若 的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称 为点 集S的一个聚点。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 整数集Z和自然数集N没有聚点。 任何有限数集没有聚点. 聚点概念的另两个等价定义: 则称 为S的一个聚点。 若存在各项互异的收敛数列 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 三个定义等价性的证明: 显然。 显然。 设 为S（按定义 ）的聚点， ( ) ) ( Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 无限地重复以上步骤，得到S中各项互异的数列 定理8 （魏尔斯特拉斯（weierstrass)聚点定理） 实轴上的任意有界无限点集至少有一个聚点。 证 因为S是有界点集， 现将 等分为两个子区间。 因为S是无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S中无穷多个点， 证毕。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011