《数学物理方法 第四章 留数定理.pptVIP

第四章 留数定理 解析函数的积分值与函数奇点的关系。 §4.1 留数定理 由柯西定理，若 f (z)在 l 内解析， 若 f (z) 在 l 内有奇点， 1、 l 内有一个孤立奇点 z = z0 Laurent 展式中 项的系数, 称作 f (z) 在孤立奇点 z0 的留数(Residue) 。 1、 l 内有 n 个孤立奇点 留数定理 设函数 在回路 l 所围区域 B 上除有限个孤立奇点 外解析，在闭区域 上除 外连续，则 留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围区域上各奇点的留数之和。 以上讨论都限于有限远点，我们还可以将这种讨论推广到无限远点 计算留数的公式： 一、一阶极点留数的计算：设 z0 是 f (z) 的一阶极点， 因此 特殊情形： 二、m (m?2)阶极点留数的计算：设 z0 是 f (z) 的 m 阶极点, 两边乘 , 得到： 为了求 a-1, 对上式求 m-1 阶导数： 因此, 已知 m 后： 例3：求 在其奇点的留数。 解： 单极点 2i, 三阶极点0 例4：求积分 解： §4.2 应用留数理论计算实变函数定积分 实变函数积分?复变函数的回路积分 基本思想: 将在区间 l1=[a, b] 的实变函数积分与复平面上的回路积分联系起来, 可以看做复变函数线积分的特例, 即是复变函数在实轴上的线积分。因此，可把上述实数积分与复变函数积分联系起来。 类型一： 其中： （1） R(cosx, sin x) 是 sin x, cos x 的有理式； （2）积分区间是 [0, 2?]； (3) 在区间[0, 2?]内，无奇点。 如果令 z =1· eix=cos x+i sin x, 则积分路径变成单位圆的围路积分。因为 被积函数有单极点 由留数定理得 类型二： 其中：(1) 积分区间是 (-?, +? ); (2) 复变函数 f (z) 在实轴上无奇点，在上 半平面除有限个奇点（b1, b2…bn) 外解析； (3) 当 z 在上半平面和实轴上??时，一致 的 | z f (z)|?0； 如果 f (x) 是有理分式 ， 则分母在实轴无零点，且分母的次数高于分子次数至少二次。 积分主值概念：反常积分定义为 当 R1=R2 时， 称为 I 的积分主值 一般，积分主值存在，不一定反常积分存在，反之，如果反常积分存在，积分主值一定存在！ 计算积分主值 补充围路如图, 作线积分 由留数定理： 当 R??,左边的第一个积分 即是要求的，第二个积分可证明当 f (z)满足条件（3）[z ? ?, | z f (z)| ? 0] 时为零。 例题3 求积分 解： 因此积分为 例题5 求积分 先考虑只有一个单极点(m=1) 由于 的存在，作如图围路。在围路内如有有限个奇点，则 当R??时 第 3 部分积分为零。 因此问题的关键是求实轴上单极点处的积分。 事实上 因此原积分为 如果实轴上有多个单极点。 例题8：求积分 解：利用函数的奇偶性，原积分可化成 被积函数仅仅在实轴上 有单极点 z=0, 因此据 *§4.3 计算定积分的补充例题 例4 计算菲涅耳积分 在第二积分中， 同理 偶函数 F(-y)=F(y) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile . Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 奇函数 -G(-y)=G(y)