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换元的十种方式 　　换元是中学数学中常用数学方法.通过换元可以降低难度，简化运算.换元的关键是选择换元对象，确定换元方式.常用的换元方式有以下十种. 　　一、取相同部分换元 　　例1设对所有实数x，不等式 　　x2log24（a+1）a+2 　　xlog22aa+1+ 　　log2（a+1）24a20恒成立，求实数a的取值范围. 　　分析考察不等式中对数式的类似结构，可考虑换元. 　　解设t=log2a+12a，则原不等式等价于不等式（3+t）x2-2tx+2t0对一切x∈R恒成立，而这又等价于3+t0，（-2t）2-4（3+t）?2t0. 　　于是log2a+12a0，得 　　a+12a1. 　　解此分式不等式，得0　　二、相反数换元 　　例2已知af（2x-3）+bf（3-2x）=2x（a2≠b2），求f（x）的表达式. 　　分析2x-3与3-2x互为相反数，若设其中一个为t，则另一个为-t，代入已知条件可得含f（t）及f（-t）的式子，可先求f（t）. 　　解令2x-3=t，则3-2x=-t，x= 　　t+32， 　　∴af（t）+bf（-t）=t+3.① 　　在上式中以-t代t得 　　bf（t）+af（-t）=-t+3② 　　①×a-②×b，得 　　（a2-b2）f（t）=at+3a+bt-3b. 　　∵a2-b2≠0 　　∴f（t）=（a+b）t+3（a-b）a2-b2=ta-b+3a+b 　　∴f（x）=xa-b+3a+b. 　　三、倒数换元 　　例3解方程（4+15）x+（4-15）x=8 　　分析4+15?4-15=1，∴（4+15）x与（4-15）x互为倒数. 　　解设（4+15）x=t，则（4-15）x=1t，于是原方程化为t+1t-8=0，即t2-8t+1=0，解得t=4±15. 　　当（4+15）x= 　　4+15时，x=2； 　　当（4+15）x=4- 　　15时，x=-2. 　　点评解此题用了互为倒数的两数的特点，巧用了这一特点换元，使问题得解，值得一学. 　　四、设比值换元 　　例4设x、y、z有关系x-1= 　　y+12=z-23，试求w=x2+y2+z2的最小值，且求出此时x、y、z的值. 　　解令x-11=y+12=z-23=k，则x-1=k，y+1=2k，z-2=3k，即x=k+1，y=2k-1，z=3k+2. 　　∴w=x2+y2+z2=（k+1）2+（2k-1）2+（3k+2）2=14k2+10k+6=14（k+514）2+4314. 　　故当k=-514，即x=914，y=-157，z=1314时w取最小值4314. 　　五、代数换元 　　例5求函数f（x）=（a+sinx）（a+cosx）（a0，0≤x≤π2）的最小值. 　　解y=sinx?cosx+a（sinx+cosx）+a2 　　设t=sinx+cosx，两边平方解得t2-12=sinxcosx 　　∴y=t2-12+at+a2=t2+2at2+a2-12=（t+a）22+a2-12 　　由0≤x≤π2知π4≤x+π4≤3π4. 　　而t=sinx+cosx=2sin（x+π4） 　　12≤sin（x+π4）≤1 　　∴1≤2sin（x+π4）≤2 　　∴1≤t≤2 　　当t=1，即sin（x+π4）=22，x=0时，函数f（x）取得最小值a2+a. 　　六、三角换元 　　例6求函数y=1+x-x的最值. 　　解函数的定义域为[0，+∞）. 　　令x=cot2θ，θ∈（0，π2]，则1+x=1+cot2θ=csc2θ.∴原函数转化为 　　y=csc2θ-cot2θ=cscθ-cotθ=1sinθ-cosθsinθ=1-cosθsinθ=tanθ2. 　　∵0θ≤π2，∴0θ2≤π4，∴0tanθ2≤1. 　　∴ymax=1，但没有最小值. 　　例7已知锐角α、β满足条件 　　sin4αcos2β+ 　　cos4αsin2β=1，求证：α+β=π2. 　　分析注意到已知条件满足公式sin2α+cos2α=1，可进行三角代换，即可换元. 　　证明由已知可设 　　sin2αcosβ=cosθ， 　　cos2αsinβ=sinθ，则sin2α=cosθ?cosβ，cos2α=sinθ?sinβ 　　上两式相加，得 　　sin2α+cos2α=cosθ?cosβ+sinθ?sinβ=1 　　∴cos（θ-β）=1， 　　∴θ-β=2kπ（k∈Z） 　　∴θ=2πk+β（k∈Z） 　　∴sin2α=cosβcosθ=cos2β， 　　cos2α=sinθ?sinβ=sin2β 　　∵α、β