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数学教学中的举例浅析摘要：讲授数学课时，准确而恰当地应用日常事例，可以起到讲解明了清晰、浅显易懂的教学效果。本文旨在探讨讲授数学课时的举例艺术，针对高等数学微积分教学中的集合、无限与有限等概念的讲授进行了举例分析。关键词：微积分;数学教育;教学方法;高等教育中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）05-0137-02一、引言据光明日报2015年01月14日的报道，在日前举行的第十届“苏步青数学教育奖”颁奖仪式上，中科院院士、复旦大学数学科学院李大潜教授针对当前中学数学教学中存在的一些突出问题，提出了自己的见解。李大潜院士表示，我们往往把数学看成一堆定义、公式、定理及证明的堆积，千方百计地要把这些知识灌输到学生的头脑中去，却忘记了数学教育最根本的三件事：一是数学知识的来龙去脉;二是数学的精神实质和思想方法;三是数学的人文内涵。李院士说：“为什么有很多人觉得数学枯燥无味、过于抽象、高不可攀，因而望而生畏，甚至避之唯恐不及呢？我觉得数学教师有责任，我们数学家更有责任。”课堂讲授是十分细致、十分复杂和需要超常的艺术才能完成的活动。教学中常见的一种现象是照搬讲稿，满口的科学名词和文绉绉的语句，使人感到干瘪、生硬。对于这样的讲授，或许指不出什么错误，但本身就失去了“享受知识传播”的意义。人常说：“话有三说，巧说为妙。”同一件事会因讲解者的言词和神态的不同而产生完全不同的效果，那么，怎样才能做到“巧说”呢？微积分是理工科一年级大学生的必学内容，这些内容在中学有所接触，但仅仅是学习了一些皮毛或者最初始的概念和计算，如果大学的微积分课堂教学仅仅就事论事，很难在学生中产生课堂共鸣。美国数学家洪斯贝尔说：“把数学同音乐相比往往是很合适的，蹩脚的演奏会把迷人的乐曲搞得一团糟。同样，拘泥于合理程式的讲解，也会使许多光彩夺目的数学思想弄得黯然失色。”如何使用有趣而易于理解的实例将数学思想深入课堂就值得我们深思和研究，许多文献[1-8]研究和探讨了微积分的教学方法[1-7]和教材建设[8]，本文针对教学中的集合、有限、无限等有关概念进行举例和论述，以期达到抛砖引玉的目的。二、看不懂的集合悖论1903年，英国数学家罗素提出了一个著名悖论：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合。这里的语言听起来颇是拗口，学生理解起来需细细琢磨。通过询问N是否是它自身的成员引出矛盾。一方面如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员;另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员。无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论，学生对此不可思议。如果教师就这样照本宣讲，不仅自己讲起来太过制式化，很难引起学生的注意力，而且讲解过程很难与学生产生共鸣。假设教师首先讲解罗素给出的通俗例子，即俗称的“理发师悖论”：有一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问理发师：“你的头发由谁理呢？”这名理发师该怎么回答？是哑口无言吗？让学生分析这个例子：如果理发师给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人;但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此这个理发师不能自己给自己理发。如果由另外一个人给他理发，该理发师就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己给自己理发。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。通过理发师悖论的自然铺垫，可抽象出M与N集合：M表示萨维尔村自我理发的人的集合;N表示萨维尔村所有不自己理发的人的集合。那么理发师属于那一个集合？若理发师属于M，意味着他给自己理发，根据“村里所有不自己理发的人都由我给他们理发，我也只给这些人理发”，则知道他不给自己理发，即理发师属于N。同理若理发师属于N，意味着他不给自己理发，根据“村里所有不自己理发的人都由我给他们理发，我也只给这些人理发”，则知道他要给自己理发，即理发师属于M。因此无论哪种情形，都有理发师属于M也属于N的矛盾结果。由此教师还可让学生模仿举例，给出提出自己的悖论，达到举一反三的结果。事实上，在当时罗素悖论以其简单明了震惊了整个数学界，它的提出，造成了数学发展史上的第三次数学危机，同时也加快了人们将集合论公理化的进程。三、有限与无限学习高等数学首先要接触无限与有限的概念，而它们在性质上有很大的差异，不能用有限的眼光看无限的问题。为了阐述无限与有限的差异。可举这样的例子：操场上有一排中学生，如果知道任意两个男生之间有女生，而且任意两个女生之间有男生。那么，或者男女人数相等，或者至多相差一个。这是再明显不过的事实。但是，在无限范围内却不成立。例如任意两个无理数之间都有有理数，任意两个有理数之间