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数学危机不危机【摘要】 本文以历史上的三次数学危机为基础，通过解决三次数学危机为何发生在西方、三次数学危机在不同数学分支中的推动作用、三次数学危机对我们的研究和教学的启示这三个的问题，以此证实数学危机，其实不危机，它对数学的发展有很大的影响.【关键词】 数学危机；西方；数学分支；启示一、三次数学危机简介（一）第一次数学危机公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派.这个学派所有发明创造都归于学派领袖.当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知.该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示.希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事.它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解.这就是第一次数学危机.最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决.只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了.（二）第二次数学危机十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾.直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论.柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾.无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，第二次数学危机基本解决.（三）第三次数学危机1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝、绝对正确的数学出现了自相矛盾.罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合.因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的.因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则，否则就是不合法的集合.数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论.德国数学家策梅罗提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统，这场数学危机到此缓和下来.二、三次数学危机为何在西方（一）西方人更注重逻辑思维西方有一句话叫做“富人创造世界”，从这三次数学危机，我们知道西方人善于发现问题，主张去探究“这个东西是什么”，从逻辑和本质出发思考问题，不断地将问题呈现出来，不断思考和挖掘，朝着困难进发，不断地思考事物的根源，而不是将理论推倒去重新建立，在此基础上，通过人们逐渐地去深入，或者是变换一种思考问题的方式，都能使新的问题得到解决.西方人长期是以这种逻辑思维来做事情、搞研究的，那么此时西方的数学才会出现危机.（二）西方人更注重体系的完善第一次数学危机是由于实数系不完整，第二次数学危机是由于极限理论不完整，第三次数学危机是由于公理化体系不完整.当西方人发现在现有的理论基础之上，解决这些问题的理论不能够得到落实，不能支撑起问题的解决，那么西方人会在此基础上去完善数学理论，不断地充实体系，使理论体系更加完善，以此来解决数学危机.因此说，西方是先有理论，由理论来指导实践，并且对于西方来说，建立起来的理论要达成一个完整的链条，使得它们完成整个数学界的连贯性和体系性.反之，东方人则不在意理论的完善，他们认为只要将理论建立起来就可以了，即使一些理论是零敲碎打，只要不影响使用就可以.因此，我们可以发现历史上的三次数学危机发生在西方不是偶然的，而是必然的.三、三次数学危机在不同数学分支中的推动作用（一）三次数学危机的共同之处通过对三次数学危机的研究，我们可以发现，这些危机都是在理论有缺陷的情况下发生的，数学家们研究不下去这些问题了，所以才将理论不断地充实下去，使得解决问题的依据更加充足.学者们都拥有永无止境的研究欲望，勇于探索的精神，才能解决一次又一次的数学危机，从而引起深远的影响.（二）对实数系的推动作用从第一次数学危机中，我们可以发现，导致其发生的原因是由于当时的人们只知道有理数，有理数就是整个实数系，而当一个数不能用整数表示时，人们就发现了存在于有理数之外的数，即无理数.所以说，无理数必须建立在有理数之上，有理数又是整数的扩展，整数则是由自然扩充而来，那么才能建立严格的实数理论.这样而来，无理数的出现促进了最根本的实数系的完善，并且为极限理论做下铺垫.（三）对分析学分支的推动作用分析学是三大基础数学的一大分支，其中