工程数学课件5.1.pptVIP

例7 函数 在复平面内 有些什么类型的奇点? 如果是极点, 指出它的级. 解 函数 除点 外, 所以这些点都是 的一级零点, 故这些点中除1, -1, 2外, 都是 的三级极点. 内解析 . 在 所以 那末 是 的可去奇点. 因为 章  第五章 留数 第一节 孤立奇点 5.1 解析函数的孤立奇点 由于函数f(z)在去掉圆心的圆盘 内解析，则在D内，f(z)有洛朗展式 其中 是圆 孤立奇点的分类—可去奇点： 一般地，对于上述函数f(z)，按照它的洛朗展式含负次幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下： （1）如果无负次幂项,即当n=-1,-2,-3,…，时 那么我们说z0是f(z)的可去奇点。 这时 令 ，就得到在整个圆盘 内的解析函数f(z)。 如果补充定义: 时, 那末 在 解析. 例1 中不含负幂项, 是 的可去奇点 . （2）、如果只有有限个负次幂项,即有限个（至少一个）负整数n，使得 那么我们说z0是f(z)的极点。 设对于正整数m， 而当n-m时， 即负次幂项最高为m次 那么我们称z0是f(z)的m阶(级）极点。 （3）、如果有无穷个负次幂项,即无限个整数n0，使得 那么我们说 是f(z)的本性奇点。 例如，0分别是 一级极点, 本性奇点 定理5.1函数f(z)在 内解析，那么z0是f(z)的可去奇点的充分与必要条件是：存在着极限， 其中 是一个复常数。 证明：（必要性）。由假设，在 内，f(z)有洛朗级数展式： 因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在 内解析， 于是显然存在着： （充分性）。设在 内，f(z)的洛朗级数展式是 由假设，存在着两个正数M及 ， 使得在 内， 当n=-1,-2,-3,…时，在上式中令 趋近于0，就得到 于是z0是f(z)的可去奇点。 那么取 ，使得 ， 我们有 下面研究极点的特性： 设函数f(z)在 内解析， 是f(z)的 阶极点，那么，f(z)有可表示为： 在这里 。于是在 内 在这里 是一个在 内解析的函数，并且 反之，如果函数f(z)在 内可以表示成为上面的形状，而 是一个在 内解析的函数，并且 ，那么可以推出 是f(z)的m阶极点。 关于解析函数的本性奇点，我们有下面的结论： 定理5.3 函数f(z)在 内解析，那么 是f(z)的本性奇点的充分必要条件是： 不存在有限或无穷极限 例4 0是函数 的本性奇点， 不难看出 不存在。 解：当z沿正实轴趋近于0时， 趋近于? 当z沿负实轴趋近于0时， 趋近于0； 解析函数的零点 设不恒为零的函数f(z)在z0的邻域U内解析，并且 那么称z0为f(z)的零点。 设f(z)在U内的泰勒展式是： 并且存在正整数m， 而对于nm， 那么我们说z0是f(z)的m阶零点。 如果z0是解析函数f(z)的一个m阶零点，那么显然在它的一个邻域U内 其中 在U内解析。 定理5.1 设函数f(z)在z0解析，并且z0是它的一个零点，那么存在着z0的一个邻域，在其中z0是f(z)的唯一零点。 因此存在一个正数 ，使得当 时， 。 于是 注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性。 条件很容易证明. 3.零点与极点的关系 定理 如果 是 的 m 级零点, 那末 就是 的 m 级极点. 反过来也成立. 证 如果 的 m 级零点, 是 那末 当 时, 解析且 所以 是 的 m 级极点. 解析且 如果 是 的 m 级极点, 则有 当 时 , 函数 在 解析且 由于 只要令 那末 的 m 级零点. 就是 例5 函数 有些什么奇点, 如果是极点, 指出 它的级. 解 函数的奇点是使 的点, 这些奇点是 是孤立奇点. 的一级极点. 即 解析函数在无穷远点的性质 设函数f(z)在区域 内解析，那么无穷远点称为f(z)的孤立奇点。在这个区域内，f(z)有洛朗级数展式： 其中系数由定理4.4中类似的公式确定。 令 ，按照R0或R=0，我们得到在 或 内解析的函数 其洛朗级数展式是： 如果w=0是 的可去奇点、（m阶）极点或 本性奇点，那么分别说 是f(z)的可去奇 点、（m阶）极点或本性奇点。 （1）