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案例 2 全等三角形的应用 角边角 希腊几何学的鼻祖泰勒斯（Thales, 前6世纪）发现了角边角定理。普罗克拉斯（Proclus, 5世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其《几何史》中将该定理归于泰勒斯。因为他说，泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离，其方法中必须用到该定理。” 案例 2 全等三角形的应用 坦纳里（P. Tannery, 1843～1904）认为，泰勒斯应该是用右图所示的方法来求船到海岸的距离的：设A为海岸上的观察点，作线段AC垂直于AB，取AC的中点D，过C作AC的垂线，在垂线上取点E，使得B、D和E三点共线。利用角边角定理，CE的长度即为所求的距离。这种方法为后来的罗马土地丈量员所普遍采用。 案例 2 全等三角形的应用 希思（T. L. Heath, 1861-1940） 提出了另一种猜测：如图，泰 勒斯在海边的塔或高丘上利用 一种简单的工具进行测量。直 竿 EF 垂直于地面，在其上有 一固定钉子A，另一横杆可以绕 A 转动，但可以固定在任一位置 上。将该细竿调准到指向船的 位置，然后转动EF（保持与底 面垂直），将细竿对准岸上的 某一点C。则根据角边角定理， DC = DB。 案例 2 全等三角形的应用 上述测量方法广泛使用于文艺复兴时期。右图是16世纪意大利 数学家贝里（S. Belli, ?～1575）出版于1565年的测量著作中 的插图，图中所示的方法与泰勒斯所用方法相同。 案例3 三角比 日晷（古埃及、巴比伦、古希腊Anaximander） 案例3 三角比 Aristarchus（310 B.C.-230B.C.） 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 古代两河流域的陶碗（图1）以及中国仰韶文化陶盆（图2）上的花瓣纹则表明，新石器时代的人们已经知道用圆弧来构造若干对称图形了。 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 大英博物馆所藏古巴比伦时期（公元前1800年-公元前1600年）的数学泥版BM 15285（残缺不全）上，我们看到很多圆弧或圆弧与线段所围图形的面积问题，这些问题很可能是当时祭司编制的学校数学练习题。 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 公元前5世纪，希波克拉底在研究化圆为方问题时，求得了某些特殊弓月形的面积。在图17中，希波克拉底发现，等腰直角三角形斜边上的半圆与以直角顶点为圆心、直角边为半径的四分之一圆弧所围成的弓月形面积与等腰直角三角形的面积相等。在图18中，希波克拉底发现，大圆内接正六边形相邻三边上的小半圆与大圆所围成的三个弓月形连同其中一个小半圆的面积与等腰梯形面积相等。 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 案例 4 从巴比伦祭司到达芬奇 案例 5 一元二次方程求根公式 巴比论：泥版数学文献 泥版数学文献中含有三种类型的一元二次方程： x2 + bx = c；x2 = bx + c ；x2 + c = bx 巴比伦人已经分别知道求根公式 案例 5 一元二次方程求根公式 巴比伦泥版问题1：“【正方形】面积与边长之和为3/4，【求边长。】” 解法：“置投影（projection）1，半之，得1/2。1/2和1/2相乘，得1/4。将1/4与3/4相加，得1，从中减去1/2，即得边长为1/2。” 案例 5 一元二次方程求根公式 H?yrup之解释： 案例 5 一元二次方程求根公式 巴比伦泥版问题：一个正方形面积减去它的边长，差为870。求边长。相当于求解 。 解法： “取1的一半，得1/2，以1/2乘1/2，得1/4；将1/4加到870，得870 1/4。这是29 1/2的平方。把1/2加到29 1/2，结果得30，即为正方形的边长。” 案例 5 一元二次方程求根公式 《几何原本》 在长度为b的线段AB的延 长线上求一点D，使 AD（b+ x）与BD（x）构成的矩形面积为c。 案例 5 一元二次方程求根公式 释律佗罗 (Sridhara,10世纪) 方程ax2 + bx = c的解法： 方程两边乘以 4 倍的二次项系数，再加上一次项系数的平方。(然后开方。) 案例 5 一元二次方程求根公式 案例 5 一元二次方程求根公式 花拉子米《代数学》 案例 5 一元二次方程求根公式 韦达 x2+ax=b (令 x = u+ z ) ? u2+(2z+a) u+(z2+az+b)=0