正定矩阵的应用.docVIP

关于正定矩阵应用的综述 数学与应用数学专业 数学1201班 XXX 指导老师 XXX 摘 要：对正定矩阵的一些性质，给出了正定矩阵的几个应用，并对这些应用中结论的证明作了进一步的补充. 关键词：正定矩阵；可逆矩阵；正交矩阵； 引言 矩阵的思想很早就已经有了，至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程组时的应用上.而经过近几年的发展，矩阵论已经是代数学中的一个重要分支了，而正定矩阵因其特有的性质及应用也受到了人们的广泛关注. 正定矩阵是一类重要的矩阵，在二次型和欧式空间等方面有着较为广泛的应用，研究它的性质对拓展欧式空间有着极其重要的意义. 由正定矩阵的一些基本性质 , 并且运用这些性质从而得出正定矩阵的新性质. 二次齐次多项式是一类重要的多项式，在实际工作和理论研究中占据重要地位.它在数学的许多分支以及物理学中会经常用到，尤其是对于实二次型中的正定二次型，更占有特殊的地位.我们把正定二次型的系数矩阵叫做正定矩阵.因此，对于正定矩阵的讨论在矩阵理论方面或实际应用方面都有着极其重要的意义.本文主要是从正定矩阵的一些性质出发，并结合已有的知识将正定阵的性质作了进一步扩充及应用. 正定矩阵的应用 矩阵正定在运算中的性质应用 定理1:若与都 是同阶正定矩阵,则矩阵的特征根都大于零. 证明：都是正定矩阵,故有非奇异矩阵,使,于是,因为非奇异,故是正定阵,从而与它相似的矩阵的特征值都是正数. 应注意的是,定理1中仅指的特征值是大于零的,而由于不一定是对称阵,所以不能得出亦为正定阵的结论.另外,矩阵运算中的乘法运算不满足一般的交换律,而满足可换性的正定阵有非常好的性质定理:以下又给出两个具有可换性的矩阵性质定理, 首先对定理1改进有: 定理2：若是同阶正定矩阵,且,则也是正定阵. 特别地有相应推论： ：为阶对称阵,其中都大于零,若,则也是正定矩阵.，由于都大于零，则是正定的对称阵,若 ，则是对称阵.由定理1可知, 的特征值都大于零,由性质知是正定阵. 推论2：设与是正定对称矩阵，则是正定矩阵.为未对称的情形，则不一定成立.是正定矩阵，，因为不是正定矩阵.、都是是正定矩阵，则的全部根就是的全部特征根.是正定矩阵，则，所以，与的根完全一致，即的全部特征根就是的全部根.的全部特征根就是的全部根.、都是正定矩阵，则多项式 的根都是1.当且仅当. 证明：、都是正定矩阵，故有非奇异矩阵，使也是正定矩阵.而,当且仅当，,即的根与的根一致.但正定，推出它的特征根都是正数.因此的根全部都是正数.的根全是的特征根全是使得,因为非奇异，所以,当且仅当. 定理5：设、的特征值全大于，的特征值全大于.若，则是正定矩阵. 证明：由所给条件知，是实对称矩阵，且我们知道都是正定矩阵.设是的任一特征值，则 这表明是 正定，故，所以，即的特征值全大于，从而为,的特征根全大于,特征根全大于，，有定理是正定矩阵.是一个阶正定矩阵,则对任何向量与，定义 则可以证明由该定义的一定是维向量间的内积.反之,对于维向量间的任意一种内积,一定存在一个阶正定矩阵,使得对任何向量和,可如上定义.因此,给定了一个阶正定矩阵,在维向量间就可由该矩阵定义一个内积, 从而可得到相应的柯西不等式： 例题3：证明不等式 对所有实数和均成立. 证明:从不等式来看，可知它相当于,其中是由矩阵所定义的，但要证明是个正定矩阵.经验证该矩阵为正定矩阵.从而可看出该不等式就是由所确定的内积所产生的柯西不等式，因此不等式成立. 注意：上述不等式可以推广为 其中是正整数，而是任意实数. 利用矩阵正定判别线性互补问题 正定矩阵的一般形式是：设是阶实对称矩阵,若对且都有.从广义正定矩阵的概念出发，并把该类正定矩阵推广到矩阵和矩阵，可以用该类正定矩阵来判别线性互补问题解的存在性和唯一性. 设矩阵M是一半正定矩阵(或者说是一单调线性互补问题),对于任意,若是可行的，则必有解，且其解集为凸集. 证明：可以等价于二次规划 将目标函数中的二次函数项表示为对称矩阵二次项，则该二次规划可以等价地写成这里的是一半正定矩阵，且, 因此这是一个凸规划,其目标值有下界，且下界为零，必存在满足条件： 其中为 乘子. 由(1)式可知 因此，是的解. 下面证明的解集为凸集. 设是的解，因此我们需要证明对任意的也是的解. 首先， 且这说明是的可行解. 因此有. 这说明的解的解集为凸集.是否为凸函数？ 解：由条件可知，.从而得到：在该二次函数中，是正定的.所以是严格凸函数.，那么的协方差矩阵为半正定矩阵，,由概率论的相关知识得知其非负定性.同理可 得，维随机向量的协方差矩阵： ? ? ? ? 也是半正定的，就可以运用正定矩阵的一些性质来解决实际问题. 在实际的线性模型中，当被比较的估计都是无偏估计时，协方差阵被用作是