电动力学—第+2+章.pptVIP

(1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开） (2) 三元函数的麦克劳林展开 的麦克劳林展开 2. (3) 将 在 点展开 其中 小区域电荷分布产生的电势 电四极矩张量 电偶极矩矢量 （b）电荷Q 产生的电场的电力线终止于导体面上它与 无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半 空间完全相同。 （c） 与 位置对于导体板镜像对称，故这种方法称 为镜像法（又称电像法） （d）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力 解：（1）分析： 因导体球接地故球的电势为零。根据镜像法原则假想电荷应在球内。因空间只有一个点电荷，场应具有轴对称，故假想电荷应在轴线上，即极轴上。 真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。 球坐标系 P R O Z （2）由边界条件确定 和 设 因 任意的 解得 ① ② （3）讨论： ① ，因此Q发出的电力线一部分会聚到导体球面 上，剩余传到无穷远。 ② 球面感应电荷分布 ③ 若导体不接地，导体为等势体，但电势不为零， 使导体表面电势为零，要使导体表面电势不为零，但仍为等势体，可认为在球心的点电荷 产生的电势。这时导体球上总电量 ，空间电势为 ④ 若导体球不接地，且带上自由电荷 ，即导体上总电荷为 ，此时要保持导体为等势体，可认为在球心放有点电荷 ，这时空间电势为 ⑤ 导体球不接地而带自由电荷 时 所受到的作用力可以看作 与 及位于球心处的等效电荷 的作用力之和 设 ， ，第一项为排斥力，第二项为吸引力（与 无关，与 正负无关）。 当 时，F 0 ，即正电荷与带正电导体球在靠得很近时会出现相互吸引。 3．有一点电荷 位于两个互相垂直的半无限大接地导体板所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为 a 和 b，求空间的电势。 假想电荷应在第 I 象限之外。 要保证互相垂直的两个接地导体板的电势同时为零，应当放几个像电荷？ 解：（1）分析： Q （-a, -b, 0） -Q （a, -b, 0） x y O Q （a, b, 0） -Q （-a, b, 0） （2）电势分布 放在 处，用镜象法求解时应放几个像电荷? （3）若两平面夹角 像电荷数 S2 S1 Q 如何借助于有关点电荷的较简单的边值问题，解决较复杂的边值问题。 为此，我们先说明点电荷密度的数学表示，然后利用格林公式，把一般边值问题和有关点电荷的相应问题联系起来。 本节研究的问题： §2.5 格 林 函 数 给定V内电荷分布ρ和V的边界S上各点的电势?|s 给定V内电荷分布ρ和电场法向分量??/?n|s 第一类边值问题 ： 第二类边值问题 ： 一、点电荷密度的?函数表示 ?函数 定 义 处于x’点上的单位点电荷的密度用函数?(x－x)表示 则有 ?函数有如下重要性质： 同样，若V包括x’点在内，而f(x)在x=x’点附近连续，由?函数定义可推出 若f(x)为在原点附近的连续函数，V包括原点在内，有 二、格林函数 一个处于x’点上的单位点电荷所激发的电势满足泊松方程及边界条件 此泊松方程的解，为第一类边值问题的格林函数 一个处于x点上的单位点电荷所激发的电势满足泊松方程及边界条件 此泊松方程的解，为第二类边值问题的格林函数 格林函数所满足的微分方程 上节中我们实际上已求出一些区域的格林函数。现列举几种区域的格林函数为例。 格林函数与实际问题的对应关系： 格林函数: 实际问题: 求解区域V内： 已知ρ( x’ ) 方程： 边界S上： 已知 令 令 已知 （1）无界空间的格林函数 在x点上一个单位点电荷在无界空间中激发的电势为 因此，无界空间的格林函数为 （2）上半空间的格林函数 当Q＝1时，由上节例1可得上半空间第一类边值问题的格林函数。 以导体平面上任一点为坐标原点，设点电荷所在点的坐标为(x’,y’,z,’) ，场点坐标为(x,y,z)，上半空间格林函数为 （3）球外空间的格林函数 当Q＝1时，由上节例2可得球外空间的格林函数。 以球心O为坐标原点。设电荷所在点P’的坐标为R’，场点P 的坐标为R 上节例2中a对应于R’，b对应于R02/R’。 作一定代换后，球外空间格林函数为 三、格林公式和边值问题的解 先考虑第一类边值问题 ，