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西南交通大学2006-2007学年第 一 学期考试试卷 课程代码 课程名称 随机过程B 考试时间 2007.1.24 题号 一 二 三 四 五 六 七 总成绩 得分 （14分）设二维随机变量 , 的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 5分 当时， ＝ 5分 ＝ 4分 二、（14分）设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。 解： 2分 4分 2分 2分 所以： 2分 2分 三、（14分）请写出维纳随机过程的数学定义，均值函数，自相关函数与一维特征函数。 答：1、设W t 是一个随机过程，满足： （1） 2分 （2）W t 是增量独立的随机过程 2分 （3）， ～ 2分 则称W t 为维纳过程。 2、，～,， 3分 3分 2分 四、（14分）设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （4分） （2） ， 所以 （5分） （3） 只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。（5分） 五、（14分）某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。 试求到某时刻时到达商场的总人数的分布； 在已知时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？ 解：设分别为（0,t）为强度的泊松过程，为强度的泊松过程； 故，为强度的泊松过程；于是， （5分） （2） （5分） 一般地， 故平均有女性顾客 人 （4分） 六、（15分）设一个坛子中装有4个球，它们或是红色的，或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次取球置换，令表示第次取球后坛中的黑球数。 （1）是否构成马氏链,是否为齐次的，为什么? （2）试写出其状态空间与一步转移概率矩阵。 解：的参数集为，状态集为，当X n 的取值确定时，X n+1 的取值完全由X n 确定，故为马氏链，（4分） （4分） 与n无关，故为齐次马氏链。 （2分） （2）一步转移概率矩阵为 （5分） 七、（15分）设是独立同分布随机变量序列，其分布律为： ， （1）试给出的一步转移矩阵，并画出概率转移图； （2）令，计算概率。 （1）的一步转移矩阵为 （3分） 转移图为： （4分） 2 X 1 X 2 X 3 X 4 由树杈图可得： ＝＋×2＋×2＋＝0.4048 （8分） 6 －1 1 0.4 0.6 0.4 0.6