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高等数学2模拟试卷答案 一．填空（每空2分，共12分） 设则________ 函数的极值点为____（3，-3）____ 交换积分次序：＝_________ 4. 设，则全微分=_____ 5.幂级数 的和函数为___________， 收敛区间为____[-1,1）___。 二．（8分）曲面在何处的切平面平行于平面求该处的切平面方程和法线方程。 解：曲面在点（）的切平面的法向量为，平面的法向量为{2,2,1}.（2分） 要使得切平面与平面平行，则 (5分) 由此得。所以曲面在（1,1）处的切平面平行于平面.（6分） 该点处的切平面方程： (或2x+2y+z=5)（7分） 法线方程：.(8分) 三．计算下列重积分（每题6分，共18分）。 1，由所围成。 解：原式=（2分） （4分） （5分） （6分） 2， 解：原式=（2分） （4分） （5分） （6分） 3．计算， 所围四面体。 解：原式（2分） （3分） （5分） = （6分） 四，（每题8分，共16分）计算下列曲线、曲面积分 1．从到 解：， (2分). 在可微。令为A到B的直线，于是据格林公式（4分） 原式+（D为L与围成的半圆）（6分） 因为在上有dy=0，y=0，所以0.(7分)故：原式==（8分） 2．利用高斯公式计算 半球面（的上侧。 解：，故（2分）. 添加,方向下侧.则 与围成封闭立体(3分).据高斯公式 （5分） 在上dz=0，z=a，故 （6分） （7分） （8分） 五．1，（10分）判别下列级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ （1） （2） 解：（1）因为.且对正项级数利用比值审敛法：（1分） （3分） 因此收敛，(4分)原级数绝对收敛。（5分） （2）因为，而据且调和级数发散，故发散。(1分) 对原交错级数，首先有，（2分）另外对于函数（3分），因为，当xe时，，函数单调递减。因此有时，。据莱布尼兹判别法，原级数收敛，（4分）且为条件收敛。（5分） 2，（6分）将展成x的幂级数，并指出收敛区间。 解：（2分） 据等比级数公式，得，（3分），（4分）代入上式，得 原式=（5分）据等比级数公比1,得收敛区间为：（-1,1）（6分） 3，（6分）将展开成余弦级数。 解：对f（x）作偶延拓： 再对F（x）在作周期延拓 于是其余弦级数的形式为，其中 （5分） 所以傅里叶展开式为。(6分) 六．（每题6分，共18分）解下列微分方程 求满足的特解。 解：方程化成，（2分）两边积分得（4分）。即有：，（5分） 整理得方程的解： （6分） 2.设可导函数满足，求 解：两边同时对x求导，得：，即 ，（1分） 这是一阶线性非齐次方程，先解，分离变量：，（2分）得解：（3分） 常数变易，令代入非齐次方程，（4分）得 即，积分得，因此通解为 （5分） 由于据可得，代入上式得 ，最后解得 （6分） 3.求微分方程的通解。 解：特征方程：(1分)，得两个不同的单根： (2分) 故齐次通解为：（3分） 因为1是特征方程的单根，因此设特解：，(4分)代入原方程得： ，A=-2 因此(5分) 原方程的通解为（6分） 七，（6分）设，证明：若收敛，则收敛。 证明：是正项级数，所以只需要证明其N项和有界.(2分) 因为,故.（4分） 又收敛,则均有界,（5分）故的N项和有界。 因此收敛.（6分） 注意端点。 此题的关键式 上下限标注一下变量不易错 可以用另外一种扫描方式验证结论。 定限是关键！争取不写错 简单的积分，也可以写密些，这样即使最后错了，中间可以给分！ 先以后二，最关键 化累次，也必须。 重点又是难点，尽量争取得分。 注意:添加L1必须交代清楚，其它的零碎，如果下面的式子对了，一般不会因为没写上面的而扣分，但是格林公式错了的话，上面就有分了！最好写一下。 此部分在这里不是重点，得分点不多，不必花时间写得过细。 虽然简单，但是莱布尼兹条件之一，必须写出。否则即使判断正确也可能失分！ 判断递减的关键！ 记不住名称干脆不写名称。 即使不要求指出收敛区间，这一步最好也不要少。因为这是重要的。 至少这句话要写 先写好形式，万一后面错，这里有分。提示：答题时尽量一句话一步骤，适当分细，保证得分点。 题目少抄，就按照通解做。 套公式套错就全错，用常数变易至少齐次解不易错！