DA2005年高考数学（湖北卷）（文史类）.docVIP

2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学试题（文史类）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分． 1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分． 13．　　14．　　15．　　16． 三、解答题 17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力． 解法1：依定义， 则． 若在上是增函数，则在上可设． ，在区羊上恒成立，考虑函数， 由于的图象是对乐轴为，开口向上的抛物线，故要使在区间 上恒成立，即． 而当时，在上满足，即在上是增函数． 故的取值范围是． 解法2：依定义， ． 若在上是增函数，则在上可设． 的图象是开口向下的抛物线， 当且仅当，且时 在上满足，即在上是增函数． 故的取值范围是． 18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力． 解法1：设，，的长分别为， 由，得，，． 又，应用正弦定理得 ． 故所求面积． 解法2：同解法1可得． 又由余弦定理可得，． 而． ． ，． 故所求面积． 解法3：同解法1可得． 又由余弦定理可得 ，即，． 解得，，，，． 由得，， 而，舍去，故． 故所求面只． 19．本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力． 解：（1）：当时，； 当时，， 故的通项公式为，即是，公差的等差数列． 设的通项公式为，则，，． 故，即的通项公式为． （II）， ，， ， 两式相减得 ． 20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力． 解法1：（Ⅰ）过作交于，则，，且． 又，． ．． ． （Ⅱ）延长与交于，连， 则平面与平面相交于． 过作，垂足为，连， 由三垂线定理可知．由于面，且 面，所以平面面．在中，作，垂足为，则的长即为到平面的距离． 由可得，，从而． 由知，， ． 解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．设． 为平行四边形， 由为平行四边形， 由得，， ．． ． 于是，即的长为． （II）设为平面的法向量， 显然不垂直于平面，故可设 由得 即 又，设与的平角为，则 ． 到平面的距离为 ． 21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力，以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力． 解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为，需要更换只灯泡的概率为； （II）对该盏灯来说，在第1，2次都更换了灯泡的概率为；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为，故所求的概率为； （III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为（其中为（II）中所求，下同）换4只的概率为，故至少换4只灯泡的概率为． 又当，时， ． 即满年至少需要换只灯泡的概率为． 22．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力． （I）解法1：依题意，可设直线的方程为，代入，整理得 ．① 设，，则，是方程①的两个不同的根， ② 且．由是线段的中点，得 ，． 解得，代入②得，，即的取值范围是． 于是，直线的方程为，即． 解法2：设，，则有 ． 依题意，，． （II）解法1：垂直平分，直线的方程为，即．代入椭圆方程，整理得．③ 又设，，的中点为，则，是方程③的两根， ，且，， 即． 于是由弦长公式可得．④ 将直线的方程，代入椭圆方程得 ．⑤ 同理可得．⑥ 当时，，． 假设存在，使得，，，四点共圆，则必为圆的直径，点为圆心．点到直线的距离为．⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 ． 故当时，，，，四点均在以为圆心，为半径的圆上． （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得： ，，，共圆为直角三角形，为直角，即 ．⑧ 由⑥式知，⑧式左边． 由④和⑦知，⑧式右边 ， ⑧式成立，即，，，四点共圆 解法2：由（II）解法1及， 垂直平分，直线方程为，代入椭圆方程，整理得 ．③ 将直线的方程，代入椭圆方程，整理得 ．⑤ 解③和⑤式可得 ，． 不妨设， ， ． ． 计算可得，在以为直径的圆上． 又为关于的对称点，，，，四点共圆． （注：也可用勾股定理证明）