DA2005年高考数学（辽宁卷）.docVIP

2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学参考答案与评分标准 说明： 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1．B 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．C 8．B 9．A 10．A 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考 查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法，满分12分． （Ⅰ）证明： 连结． ，． ，，平面． 平面，．平面． 4分 （Ⅱ）解法一：，， 为所求二面角的平面角．设，则，． ． 8分 解法二：设在平面内的射影为．． 得．于是是的中心．为所求二面角的平面角． 设，则，．． 8分 （Ⅲ）解法一：设，球半径为．平面，， ．，．得．的边长为． 12分 解法二：延长交球面于，那么是球的直径． 连结，，可知为直角三角形．设，球半径为． ，．，， ．于是．的边长为 12分 18．本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和 三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力．满分12分． （Ⅰ）解：设为十字形的面积，则 ． 4分 （Ⅱ）解法一：， 其中． 8分 当，即时，最大． 10分 所以当时，最大．的最大值为． 12分 解法二：因为，所以 ． 8分 令，即， 可解得 10分 所以，当时，最大，的最大值为． 12分 19．本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12分． （Ⅰ）证明：当时，．因为， 所以． 2分 下面用数学归纳法证明不等式． （1）当时，，不等式成立， （2）假设当时，不等式成立，即． 那么 6分 ． 所以，当时，不等也成立． 根据（1）和（2），可知不等式对任意都成立． 8分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，． 所以 ． 故对任意，． 12分 20．（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列及期望、线性规划模型的建 立与求解等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解决实际问题的能力，满分12 分. （Ⅰ）解：，． 2分 （Ⅱ）解：随机变量，的分别列是 ，． 6分 （Ⅲ）解：由题设知目标函数为． 8分 作出可行域（如图）： 作直线， 将向右上方平移至位置时，直线经过可行域上 的点点与原点距离最大，此时 10分 取最大值．解方程组 得，．即，时，取最大值，的最大值为 12分 21．本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分． （Ⅰ）证法一：设点的坐标为． 由在椭圆上， 得 ． 由，知，所以． 3分 证法二：设点的坐标为．记，， 则，． 由，，得． 证法三：设点的坐标为．椭圆的左准线方程为． 由椭圆第二定义得，即． 由，知，所以． 3分 （Ⅱ）解法一：设点的坐标为． 当时，点和点在轨迹上． 当且时，由，得． 又，所以为线段的中点． 在中，，所以有． 综上所述，点的轨迹的方程是． 7分 解法二：设点的坐标为．当时，点和点在轨迹上． 当且时，由，得． 又，所以为线段的中点． 设点的坐标为，则 因此 ① 由得． ② 将①代入②，可得． 综上所述，点的轨迹的方程是． 7分 （Ⅲ）解法一：上存在点使的充要条件是 　　 由③得，由④得．所以，当时，存在点，使； 当时，不存在满足条件的点 11分 当时，，， 由， ， ，得． 解法二：上存在点使的充要条件是 由④得．上式代入③得． 于是，当时，存在点，使； 当时，不存在满足条件的点． 11分 当时，记，， 由，知，所以． 14分 22．本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （Ⅰ）解：． 2分 （Ⅱ）证明：令，则，． 因为递减，