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2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）参考答案 一、选择题： 1．Ｂ　　2．Ａ　　3．Ｃ　　4．Ｃ　　5．Ｂ　　6．Ｃ　　7．Ｄ　　8．Ｄ　　9．Ｂ　　10．Ａ 二、填空题： 11． 12． 13． 14． 15．， 三、解答题： 16．解法一 由 得． 所以． 即． 因为，所以，从而． 由．知． 从而． 由得． 即．亦即． 由此得，，． 所以，，． 解法二：由得． 由，，所以或． 即或． 由得 ． 所以． 即． 因为，所以 由，知． 从而，知不合要求． 再由，得，．所以，，． 17．解法一（I）证明 由题设知，． 所以是所折成的直二面角的平面角， 即．故可以为原点，，， 所在直线分别为轴．轴，轴建立空间直角坐标系， 如图3，则相关各点的坐标是，，，． 从而，，． 所以． （II）解：因为， 所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC， 是平面OAC的一个法向量． 设是0平面O1AC的一个法向量， 由取， 得． 设二面角的大小为，由的方向可知，， 所以，． 即二面角O—AC—O1的大小是． 解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1， 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB．从而AO⊥平面OBCO1， OC是AC在面OBCO1内的射影． 因为，， 所以，，从而 由三垂线定理得． （II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC． 设，过点作于F，连结（如图4），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC． 所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角． 由题设知OA=3，OO1=，O1C=1， 所以，， 从而， 又，所以． 即二面角O—AC—O1的大小是． 18．解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件A1，A2，A3．由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5， P（A3）=0.6． 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3．相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3． ， ． 所以的分布列为 ． （Ⅱ）解法一　因为， 所以函数在区间上单调递增， 要使在上单调递增，当且仅当，即． 从而． 解法二　的可能取值为， 当时，函数在区间上单调递增， 当时，函数在区让上不单调递增． 所以 19．（Ⅰ）因为A，B分别是直线与轴，轴的交点，所以A，B的坐标分别是，． 设M的坐标是，由得， 所以 因为点M在椭圆上，所以， 即，所以． ， 解得，即． （Ⅱ）解法一：因为，所以为钝角，要使为等腰三角形，必有，即． 设点到的距离为，由， 得． 所以，于是． 即当时，△PF1F2为等腰三角形. 解法二：因为PF1⊥l，所以为钝角，要使为等腰三角形，必有， 设点P的坐标是． 则解得 由得， 两边同时除以，化简得．从而． 于是． 即当时，为等腰三角形． 20．解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为，被捕捞量为bxn，死亡量为， 因此，． 即， （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则恒等于x1，，从而由式得 恒等于，，所以．即． 因为，所以． 猜测：当且仅当，且时，每年年初鱼群的总量保持不变． （Ⅲ）若的值使得， 由，，知 ，，特别地，有，即． 而，所以 由此猜测的最大允许值是． 下证　当，时，都有， ①当时，结论显然成立． ②假设当时结论成立，即， 则当时，． 又因为， 所以，故当时结论也成立． 由①、②可知，对于任意的，都有． 综上所述，为保证对任意，都有，，则捕捞强度的最大允许值是． 21．解：（I）时，， 则． 因为函数存在单调递减区间，所以有解． 又因为时，则有的解． ①当时，为开口向上的抛物线，总有的解； ②当时，为开口向下的抛物线，而有的解； 则，且方程至少有一正根.此时，． 综上所述，的取值范围为． （II）证法一 设点P，Q的坐标分别是，，． 则点M，N的横坐标为， C1在点M处的切线斜率为， C2在点N处的切线斜率为． 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则． 即，则 ． 所以． 设，则，．① 令，． 则． 因为时，，所以在上单调递增．故． 则．这与①矛盾，假设不成立． 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行． 证法二：同证法一得． 因为，所以． 令，得，． ② 令，，则． 因为，所以时