DA2005年高考数学（湖北卷）（理工农医类）.docVIP

2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算． 每小题5分，满分60分． 1．B 　2．B 　3．C 　4．D 　5．A 　6．B 　7．C 　8．C 　9．D 　10．C 　11．D 　12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算． 每小题4分，满分16分． 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力． 解法1：依定义， 则． 若在上是增函数，则在上可设． ，在区间上恒成立， 考虑函数，由于的图象是对称轴为开口向上的抛物线，故要使在区间上恒成立，即． 而当时，在上满足，即在上是增函数． 故的取值范围是． 解法2：依定义， ． 若在上是增函数，则在上可设． 的图象是开口向下的抛物线， 当且仅当，且时， 在上满足，即在上是增函数． 故的取值范围是． 18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力． 解法1：设为的中点，连接，则，且，设，在中利用余弦定理可得：，， 解得，（舍去）， 故，从而， 即， 又，故，． 解法2：以为坐标原点，为轴正向建立直角坐标系，且不妨设点位于第一象限． 由，则， 设，则． 由条件得． 从而，（舍去）． 故， 于是， ． 解法3：过作交于，延长到使，连接，． 过作交的延长线于，则，， ，而， ，，． 故由正弦定理得， ． 19．本小题主要考查随机变量的分布列和数学期望的概念和运算，以及运用概率统计的知识解决实际问题的能力． 解：的取值分别为1，2，3，4． ，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故． ，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故． ，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故． ，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故． 李明实际参加考试次数的分布列为 的期望． 李明在一年内领到驾照的概率为． 20．本小题主要考查线面关系和四棱锥等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力． 解法1：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，的坐标为， ，，， ， 从而，． 设与的夹角为，则 ， 与所成角的余弦值为． （Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则， 由面可得， 即化简得 即点的坐标为，从而点到，的距离分别为，． 解法2：（Ⅰ）设，连，则， 即为与所成的角或其补角． 在中，，， ， ． 即与所成角的余弦值为． （Ⅱ）在面内过作的垂线交于，则． 连，则在中，． 设为的中点，连，则， ，，面，从而面． 点到的距离，点到的距离． 21．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力． （Ⅰ）解法1：依题意，可设直线的方程为，代入，整理得 ．① 设，，则，是方程①的两个不同的根， ．② 且，由是线段的中点，得 ，． 解得，代入②得，，即的取值范围是． 于是，直线的方程为，即． 解法2：设，则有 ． 依题意，，． 是的中点，，，从而． 又由在椭圆内，， 的取值范围是． 直线的方程为，即． （Ⅱ）解法1：垂直平分，直线的方程为，即， 代入椭圆方程，整理得．③ 又设，，的中点为，则，是方程③的两根， ，且，，即． 于是由弦长公式可得．④ 将直线的方程，代入椭圆方程得⑤ 同理可得．⑥ 当时，，． 假设存在，使得，，，四点共圆，则必为圆的直径，点为圆心． 点到直线的距离为 ．⑦ 于是，由④，⑥，⑦式和勾股定理可得 ． 故当时，，，，四点均在以为圆心，为半径的圆上． （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得： ，，，共圆为直角三角形，为直角， 即．⑧ 由⑥式知，⑧式左边， 由④和⑦知，⑧式右边， ⑧式成立，即，，，四点共圆．） 解法2：由（Ⅱ）解法1及， 垂直平分，直线方程为，代入椭圆方程，整理得 ．③ 将直线的方程，代入椭圆方程，整理得 ．⑤ 解③和⑤式可得 ，． 不妨设，， 计算可得，在以为直径的圆上． 又为关于的对称点，，，，四点共圆． （注：也可用勾股定理证明） 22．本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想． （Ⅰ）证法1：当时，，， 即， 于是有，，，． 所有不等式两边相加可得 ． 由已知不等式知，当时有，． ，． ． 证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式 ，，，，． （i）当时， 由． 知不等式成立． （ii）假设当时，不等式成立，即， 则 ， 即当时，不等式也成立． 由（i）、（ii）知，，，，，． 又由已知不等式得，，，，． （Ⅱ）有极限，且． （Ⅲ），令， 则有，， 故取，可使当时，都有．