第1章機率與統計(ii)1二項分配與期望值二項分配1.只有二種結果的.docVIP

 PAGE 28　高中選修數學(Ⅰ)講義 第1章　機率與統計(II)　 PAGE 27 二項分配與期望值 二項分配 1. 只有二種結果的試驗，稱為伯努利試驗。 配合課本P. 32 2. 對於每次結果只有成功與失敗的伯努利試驗，如果重複做n次，每次試驗結果是獨立的，而且每次成功的機率都是一樣為p，我們想知道這n次試驗中恰有k次（k為整數，且0 ? k ? n）成功的機率，這種機率分配就稱為二項分配（或稱二項分布）。(1)　每次試驗結果只有成功（S）與失敗（F）兩種，　　第i次成功以Xi＝1表示，第i次失敗以Xi＝0表示。(2)　每次試驗成功的機率皆為p，失敗的機率皆為1－p。(3)　前面的試驗結果不會影響後面的試驗結果。(4)　整個實驗包括n次重複的試驗，令X表示n次試驗中成功的次數，即　　　　　X＝X1＋X2＋…＋Xn，以X～B ( n , p ) 表示，　　則n次試驗中恰有k次成功的機率是　　　　　P ( X＝k )＝Ceq \o(\s\up 6( n),\s\do 2(k)) pk ( 1－p )eq \o(\s\up 6(n－k),\s\do 2())，k＝0，1，2，…，n。　　其中　k＝0時，Ceq \o(\s\up 6( n),\s\do 2(0)) p0 ( 1－p )n＝( 1－p )n；　　　　　k＝n時，Ceq \o(\s\up 6( n),\s\do 2(n)) pn ( 1－p )0＝pn。　　累積機率值為　　　　　P ( X ? k )＝ EQ \i\su(i＝0,k, )  Ceq \o(\s\up 6( n),\s\do 2(i)) p i ( 1－p )eq \o(\s\up 6(n－i),\s\do 2())。 配合課本P. 34 　　1　　 擲一公正的硬幣10次，求恰有3次正面的機率。 每次出現正面 ( 成功 ) 的機率是 EQ \F(1, 2 ) ，出現反面 ( 失敗 ) 的機率也是 EQ \F(1, 2 ) ，故所求機率為Ceq \o(\s\up 6(10),\s\do 2(3)) (  EQ \F(1, 2 )  )3 (  EQ \F(1, 2 )  )7＝ EQ \F(10！, 3！7！) × EQ \F(1, 8 ) × EQ \F(1, 128 ) ＝ EQ \F(15, 128 )  1. 擲一顆公正的骰子6次，求恰有4次點數小於3的機率。 點數小於3 ( 成功 ) 的機率是 EQ \F(2, 6 ) ＝ EQ \F(1, 3 ) ，而點數不小於3 ( 失敗 ) 的機率是 EQ \F(4, 6 ) ＝ EQ \F(2, 3 ) ，故所求機率為Ceq \o(\s\up 6(6),\s\do 2(4)) (  EQ \F(1, 3 )  )4 (  EQ \F(2, 3 )  )2＝ EQ \F(60, 729 ) ＝ EQ \F(20, 243 )  　　2　　 一袋中有3個紅球、2個藍球，由袋中取5次球，取後放回，請問5次取出的球中(1)　恰有1次紅球的機率。(2)　恰有3次紅球的機率。(3)　至少有3次紅球的機率。 每次取出紅球的機率是 EQ \F(3, 5 ) ，取出藍球的機率是 EQ \F(2, 5 ) (1)　恰有1次紅球的機率是Ceq \o(\s\up 6(5),\s\do 2(1)) (  EQ \F(3, 5 )  ) (  EQ \F(2, 5 )  )4＝ EQ \F(5．48, 3125 ) ＝ EQ \F(48, 625 ) (2)　恰有3次紅球的機率是Ceq \o(\s\up 6(5),\s\do 2(3)) (  EQ \F(3, 5 )  )3 (  EQ \F(2, 5 )  )2＝ EQ \F(10．27．4, 3125 ) ＝ EQ \F(216, 625 ) (3)　至少有3次紅球的機率是　　Ceq \o(\s\up 6(5),\s\do 2(3)) (  EQ \F(3, 5 )  )3 (  EQ \F(2, 5 )  )2＋Ceq \o(\s\up 6(5),\s\do 2(4)) (  EQ \F(3, 5 )  )4 (  EQ \F(2, 5 )  )＋Ceq \o(\s\up 6(5),\s\do 2(5)) (  EQ \F(3, 5 )  )5＝ EQ \F(216, 625 ) ＋