概率分布列期望专题剖析.doc

概率分布列期望专题 一、答题与有奖竞猜问题 例：甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响。用ε表示甲队的总得分。 （Ⅰ）求随机变量ε分布列和数学期望； （Ⅱ）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB). (Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且 所以ε的分布列为 ε 0 1 2 3 P ε的数学期望为 　　　　　Eε= 解法二：根据题设可知 因此ε的分布列为 （Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又 由互斥事件的概率公式得 解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事 P(AB)=P(A3B0∪A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1). 练习：1某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规则如下： 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分； 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； 每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率； （Ⅱ）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学的. 解：设分别为第一、二、三、四个问题.用表示甲同学第个问题回答正确，用表示甲同学第个问题回答错误，则与是对立事件.由题意得 所以 （Ⅰ）记“甲同学能进入下一轮”为事件， 则 （Ⅱ）由题意，随机变量的可能取值为：. 由于每题答题结果相互独立，所以 因此 随机变量的分布列为 所以 ，. 2投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； (II) 记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望解： (Ⅰ)记 A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D表示事件：稿件被录用. 则 D=A+B·C, = = =0.25+0.5×0.3 =0.40. ，其分布列为： 期望.，解得。 设所求概率为P1，则. 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。 （2）对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为。 所以X的期望是20人。 练习：1购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为． （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率； （Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为， 则． （Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当， 2分 ， 又， 故． 5分 （Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和． 支出 ， 盈利 ， 盈利的期望为 ， 9分 由知，， ． （元）． 故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 2某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆