高等数学第5章定积分及其应用剖析.ppt

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本定理 5.3 定积分的换元法及分部积分法 5.4 广义积分 5.5 定积分的应用 5.1 定积分的概念与性质 5.1.1 引例 5.1.2 定积分的概念 5.1.3 定积分的几何意义 5.1.4 定积分的性质 5.1.1 引例 1．曲边梯形的面积 5.1.1 引例 我们采用下面的方法求曲边梯形的面积：先求近似值,然后通过取极限得到精确值,具体如下: 5.1.1 引例 5.1.1 引例 2．变速直线运动的路程 5.1.1 引例 5.1.1 引例 其中 5.1.2 定积分的概念 通过对“微小量的积累”取极限来计算，这个“微小量的积累”的极限值就是定积分. 5.1.2 定积分的概念 5.1.2 定积分的概念 5.1.2 定积分的概念 5.1.3 定积分的几何意义 5.1.3 定积分的几何意义 5.1.3 定积分的几何意义 5.1.4 定积分的性质 说明：利用定积分的定义和极限的运算法则与性质,可以得出下面定积分的几个性质.如无特别声明，下列各性质中定积分上、下限的大小均不加限制，并假定下列性质中所出现的定积分都是存在的. 5.1.4 定积分的性质 5.1.4 定积分的性质 5.1.4 定积分的性质 5.1.4 定积分的性质 5.1.4 定积分的性质 5.2 微积分基本定理 5.2.1 引例 5.2.2 积分上限的函数 5.2.3 微积分基本定理 本节我们要证明微积分理论中最重要的一个定理:微积分基本定理,它将告诉我们求定积分的问题可以转化为求原函数的问题,即不定积分的问题. 定积分与不定积分是两个完全不同的概念.本节将讨论两者之间的内在联系，即微积分基本定理，从而得到定积分的有效计算方法. 5.2.1 引例 5.2.1 引例 5.2.2 积分上限的函数 5.2.2 积分上限的函数 5.2.2 积分上限的函数 5.2.2 积分上限的函数 5.2.2 积分上限的函数 由此我们看出是积分上限的函数将定积分和原函数联系在一起,利用上述定理我们可以导出著名的微积分基本定理. 5.2.3 微积分基本原理 5.2.3 微积分基本原理 说明：微积分基本公式将求定积分的问题转化为求被积函数的原函数问题，且只要求出被积函数的任何一个原函数，则这个原函数在积分上限、下限处的函数值之差就是所求定积分的值.这就为求定积分提供了一个有效而且简便的方法. 5.2.3 微积分基本原理 5.3 定积分的换元法及分部积分法 5.3.1 换元法 5.3.2 分部积分法 5.3.1 换元法 在被积函数的原函数虽然存在但难以用初等函数来表示、无法直接使用牛顿－莱布尼兹公式求出定积分的值的情况下，我们有必要直接讨论有关定积分计算的一些基本方法——定积分的换元法及分部积分法。 5.3.1 换元法 5.3.1 换元法 5.3.1 换元法 在定积分的换元法中，使用什么形式的变量代换，跟不定积分换元法中的变量代换基本相同.其实，与不定积分有两种换元法一样，定积分也有两种换元法.在计算定积分时，如果用凑微分法能求出原函数，那么就不必进行换元，也不需要改变积分上、下限，只要记住中间函数 是什么就可以了. 5.3.1 换元法 5.3.1 换元法 5.3.1 换元法 注意：例题6的结论是定积分的一个重要的性质，当积分区间的形式是时,首先考察被积函数的奇偶性,用这个性质简化计算. 5.3.2 分部积分法 5.3.2 分部积分法 注意： 定积分的分部积分法选择和的原则与不定积分的分部积分法相同. 5.3.2 分部积分法 5.4 广义积分 5.4 广义积分 5.4.1 无穷区间上的广义积分 5.4.2 无界函数的广义积分 5.4.1 无穷区间上的广义积分 5.4.1 无穷区间上的广义积分 5.4.1 无穷区间上的广义积分 5.4.2 无界函数的广义积分 5.4.2 无界函数的广义积分 5.4.2 无界函数的广义积分 我们引入如下定义，把定积分推广到被积函数是无界函数地情形： 5.4.2 无界函数的广义积分 5.4.2 无界函数的广义积分 5.4.2 无界函数的广义积分 5.5 定积分的应用 5.5. 1 平面图形的面积 5.5.2 旋转体的体积 5.5.3 平面曲线的弧长 5.5.4 定