复变函数3.6-3.7-4.1剖析.ppt

1.问题的提出 2.主要定理 3.3.2小结 1.调和函数的定义 2.解析函数与调和函数的关系 小结 4.1 复数项级数的基本性质 一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题 （法2 线积分法） (0,0) (x,y) (x,0) （法3 不定积分法） 例2 证明：函数 都是调和函数但 不是解析函数。 证 由于 所以 故 是全平面上的调和函数， 除原点外在全平面上调和。但 ,不满足C-R条件，所以 不是解析函数。 例3 解 根据调和函数的定义可得 所求解析函数为 调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念. 应注意的是: 1. 任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数. 2. 满足柯西—黎曼方程ux= vy, vx= –uy,的v称为u 的共轭调和函数, u与v注意的是地位不能颠倒. 一、复数列的极限 二、级数的概念 三、典型例题 1.定义 记作 2.复数列收敛的条件 定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性. 证明思想与过程跟函数极限的证明完全类似，故省略. 课堂练习: 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限. 收敛到-1 不收敛 收敛到0 1.定义 表达式 称为复数项无穷级数. 其最前面 n 项的和 称为级数的部分和. 部分和 收敛与发散 说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是: 复习掌握 一、正项级数审敛法： * 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么? 3.3.2 解析函数的高阶导数 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. [分析] 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即 因此就是要证 再利用同样的方法去求极限: 依此类推, 用数学归纳法可以证明: 高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分. 例1 解 根据复合闭路定理 例2 解 例3 解 由柯西－古萨基本定理得 由柯西积分公式得 思考 答案 练习 解 根据复合闭路定理和高阶导数公式, 高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明 了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重 要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本 质区别. 高阶导数公式 思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同? 思考题答案 这一点与实变量函数有本质的区别. 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用. 3.4 解析函数与调和函数的关系 1. 两者的关系 定理 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数. 证 根据解析函数高阶导数定理, [证毕] 注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 不一定是解析函数 . 例如： 2. 共轭调和函数的定义 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数. 定理 在区域D内解析 解析函数的虚部必为实部的共轭调和数 已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。 例1 已知调和函数 求一解析函数 解：（法1偏积分法） 由 C-R 方程 于是 *