复变函数与积分变换剖析.ppt

复变函数与积分变换Complex Functions and Integral Transformation 云南师范大学物理与电子信息学院 和伟 复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展 。 复变函数与积分变换Complex Functions and Integral Transformation 设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集 平面点集D称为一个区域, 如果它满足下列两个条件:1) D是一个开集;2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来. 设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界. 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. 区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作?D.如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆里面, 即存在正数 M, 使区域 D的每个点z都满足 |z|M, 则称 D为有界的, 否则称为无界的. 2. 单连通域与多连通域平面曲线 在数学上, 经常用参数方程来表示各种平面曲线. 如果x(t)和y(t)是两个连续的实变函数, 则方程组 x=x(t), y=y(t), (a?t?b)代表一条平面曲线, 称为连续曲线. 如果令 z(t)=x(t)+iy(t)则此曲线可用一个方程 z=z(t) (a?t?b)来代表. 这就是平面曲线的复数表示式. 设C: z=z(t) (a?t?b)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C的起点与终点. 对于满足 at1b, a?t2?b 的 t1与 t2, 当 t1?t2而有 z(t1)=z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 C的重点. 没有重点的连续曲线 C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简单曲线 C的起点与终点闭合, 即 z(a)=z(b) , 则曲线 C 称为简单闭曲线. z(a)=z(b) 简单,闭 z(a) z(b) 简单,不闭 z(a)=z(b) 不简单,闭 不简单,不闭 z(a) z(b) 任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中除去 C 外, 一个是有界区域, 称为 C 的内部, 另一个是无界区域, 称为 C 的外部, C 为它们的公共边界. 简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义是很清楚的. 内部 外部 C 定义 复平面上的一个区域 B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域, 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 单连通域 多连通域 * 引 言 在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 Euler公式 揭示了复指数函数与三角函数之 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和 发展。 复变函数的 理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展 。