河北省乐亭新寨高级中学高一数学教案：第三章 不等式第三课时 一元二次不等式解法（二） 必修5.docVIP

教学目标： 会把部分一元二次不等式转化成一次不等式组来求解，简单分式不等式求解；通过问题求解渗透等价转化的思想，提高运算能力，渗透分类讨论思想，提高逻辑思维能力，渗透等价转化与分类讨论思想 教学重点： 一元二次不等式的求解. 教学难点： 将已知不等式等价转化成合理变形式子. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 试回忆一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0（a＞0)的解的情况怎样？ 对于上述问题，提醒学生借“三个二次”分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2}，那么，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，不等式ax2＋bx＋c＜} (2)若Δ＝0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根，x1＝x2＝－那么不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x≠}，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集. （3）若Δ＜0，此时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点，即方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，那么，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是R不等式ax2＋bx＋c. 若a＜0时，可以先将二次项系数化成正数，对照上述（1）（2）（3）情况求解. 教师归纳：一元二次不等式的解法充分运用了“函数与方程”“数形结合”及“化归”的数学思想. Ⅱ.题组训练 题组一：（x＋a）(x＋b)＞0，（x＋a）(x＋（x＋4)(x－1)＜0 2.(x－4)(x＋1)＞0 3.x(x－2)＞8 4.(x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0 （x＋4)(x－1)或 由{x|}＝{x|－4＜x＜1}，{x|}＝ 得原不等式的解集为{x|－4＜x＜1}∪＝{x|－4＜x＜1} 2.解：将(x－4)(x＋1)或 由{x|}＝{x|x＞4}，{x|}＝{x|x＜－1} 得原不等式解集为{x|x＞4}∪{x|x＜－1}＝{x|x＞-4或x＜－1} 对于题目3、4，教师引导学生，利用基本知识，基本方法将其转化成左边是两个x的一次式的积，右边是0的不等式，学生可顺利获解. 3.解：将x(x－2)＞8变形为x2－2x－8＞（x－4）(x＋2)＞0 }＝{x|x＞4}，{x|}＝{x|x＜－2} ∴原不等式解集为{x|x＜－2或x＞4} 4.解：将原不等式变形为 [（x＋1）＋4][(x＋1)－1]＞0，即x(x＋}＝{x|x＞0}，{x|}＝{x|x＜－5} ∴原不等式解集为{x|x＜－5或x＞0} 引导学生从特殊到一般归纳（x＋a）(x＋b)＞0与（x＋a）(x＋b)＜0的解法：将二次不等式（x＋a）(x＋b)＞0转化为一次不等式组或；(x＋a)(x＋b)＜0转化为一次不等式或＞0与＜0的解法探索. 1. ＜0 2.3＋ ＞－3 4. ＞1 有了题组一的基础，学生通过观察、分析题组二题目的特点，结合初中学过的商的符号法则或结论“＞0ab＞0及＜0ab＜0”作为等价转化的依据，可以使题组二题目得解. 1.解：不等式可转化为或 ∴{x|}＝{x|－7＜x＜3}，{x|}＝ ∴原不等式解集为{x|－7＜x＜3} 2.解：不等式可转化为或 ∴{x|}＝{x|－＜x＜0}，{x|}＝ ∴原不等式解集为{x|－＜x＜0} 3.解：不等式可转化为＞0，即或 ∴{x|}＝{x|x＞3}，{x|}＝{x|x＜} ∴原不等式解集为{x|x＜或x＞3} 4.解：原不等式转化为＞0 即或 ∴{x|}＝{x|0＜x＜3}，{x|}＝ ∴原不等式解集为{x|0＜x＜3} 继续引导学生归纳不等式＞0, ＜0的解法. ＞0 (x＋a)(x＋b)＞＜0 (x＋a)(x＋b)x2＋(a2＋a)x＋＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a. 对于题目1，一般学生能将其等价转化成不等式（x＋a)(x＋a)2＞（x＋a)(x＋a2)＞[（a－1）x＋1](x－1)＜0，即(a－1)x2＋(2－a)x－1＜0 ∴(1－a)x2＋(a－2)x＋1＞0，， ∴a＝. 解法二：原不等式转化为[（a－1）x＋1]·(x－1a－1[(1－a)x－1](x－1)＞∴a＝ 教师引导学生归纳：解含参数的一元二次不等式时，一般要对参数进行分类讨论，分类讨论取决于： ①由含参数的判别式Δ，决定解的情况. ②比较含参数的两根的大小； ③不等式的二次项系数决定对应的二次函数的抛物线开口方向. Ⅲ.课堂练习. 课本P73练习1，2 Ⅳ.课时小结 1.