河北省乐亭新寨高级中学高一数学教案：第三章 不等式第十课时 基本不等式（三） 必修5.docVIP

教学目标： 通过这节课，使学生能够运用均值不等式定理来讨论与不等式有关的各类问题。 教学重点、难点：均值不等式定理的灵活运用。 教学过程： 1．复习回顾 2．例题讲解 ： 例1：已知a1，0b1，求证：log ab＋ba≤－2解题思路分析：　　由对数函数可知：log ba＝，log ab＜0，因此由log ab＋的结构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。　　∵log ab＜0 　　∴ －log ab＞0 　∴－log ab＋≥2＝2　　∴log ab＋≤－2 　　即log ab＋log ba≤－2　　当且仅当－log ab＝，log a2b＝1，log ab＝－1时，等号成立，此时ab＝1。 例2：已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值 解题思路分析： 因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。同时还应化简中y2前面的系数为 　　x＝x ＝x· 下将x，分别看成两个因式 x·≤＝＝ ∴x＝·x ≤ [来源:] 例3：已知x，y为正实数，3x＋＋的最值 解题思路分析： 若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单　＋ ≤＝＝2 　　否则，这样思考：　　条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。　　W＞0，W2＝3x＋2y＋2·＝10＋2·)2·()2 ＝10＋(3x＋2y)＝2＝2 例4：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 解题思路分析： 这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a＝ab＝b＝ 　　　由a＞0得，0＜b＜15　　　令t＝b＝1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34 ∵t＋≥2＝8　　　∴ ab≤18 　　　∴ y≥ 　　　当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。法二：由已知得：30－ab＝a＋ a＋2b 　　　∴ 30－ab≥2　　　令u＝　　　则u2＋2u－30－5 　　　∴≤3，ab≤18，y≥评注：在法一，通过消元得到一个分式函数，在分子（或分母）中含有二次式。这种类 型的函数一般都可转化为x＋型，从而用基本不等式求解。其处理方法，请同学们仔细体会。实际上，一般含二次式的分式函数y＝（a，b，c，m，n，p不全为零）均可用此方法求解。 例5：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。 解题思路分析： 这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。　　若设污水池长为x米，则宽为 （米） 水池外圈周壁长：2x＋（米）　　中间隔墙长：2·（米） 　　池底面积：200（米2）　　目标函数：y＝400（2x＋2·）＋248· ·2＋80×200）＋1600 　　　　　　　　≥1600＋1600＝44800[ 3．课堂小结 注意利用转化思想，不等式使用的广泛性。 4．课后作业 1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证： (1－a)(1－b)(1－c)a0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b 高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。