高中总复习第一轮数学 (新人教A)第二章 2.11 函数的应用.docVIP

2.11 函数的应用 巩固·夯实基础 一、自主梳理 解函数应用问题的基本步骤 第一步:阅读理解，审清题意. 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步:引进数学符号，建立数学模型. 一般地，设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型. 第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果. 第四步:将所得结果再转译成具体问题的解答. 二、点击双基 1.某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价( ) A.10% B.9% C.11% D.11% 解析:设提价x%,则a(1-10%)(1+x%)=a,∴x=11. 答案:D 2.今有一组实验数据如下: t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( ) A.v=log2t B.v=t C.v= D.v=2t-2 解析:特值检验，如:当t=4时，v==7.5. 答案:C 3.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( ) A.3 B.4 C.6 D.12 解析:设隔墙的长为x(0x6),矩形面积为y，y=x×=2x(6-x),∴当x=3时，y最大.答案:A 4.已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩量为y,则x、y之间的函数关系式为___________________. 答案:y= 5.用清水洗衣服,若每次能去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数是_________________. 解析：设至少要清洗x次, 则由题意得(1-)x, 取对数得xlglg,即x≈3.321. 因为x是整数,所以x的最小值是4. 答案:4 诱思·实例点拨 【例1】 (1)一种产品的年产量原来是A件，在今后ｍ年内，计划使年产量平均每年比上一年增加p%，写出年产量随经过年数变化的函数关系式. (2)一种产品的成本原来是A元，在今后ｍ年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，写出成本随经过年数变化的函数关系式. 解:(1)设年产量经过x年增加到y件，则 y=a(1+p%)x(x∈Ｎ*且x≤ｍ). (2)设成本经过x年降低到y元，则 y=a(1-p%)x(x∈Ｎ*且x≤ｍ). 【例2】 一家庭(父亲、母亲、孩子)去某地旅游,有两个旅行社同时发出邀请,且有各自的优惠政策,甲旅行社承诺:如果父亲买一张全票,则其家庭成员(母亲与孩子,不论孩子多少)均可享受半价;乙旅行社承诺:家庭旅行算团体票,按原价的计算,这两家旅行社的原价是一样的,若家庭中孩子数不同(至少一个),试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式,比较选择哪一家旅行社更优惠? 剖析:首先建立甲、乙两家收费与孩子个数的函数式,再比较大小. 解:设两家旅行社的原价为a(a0),家庭孩子的个数是x(x∈N*),甲、乙两家旅行社收费分别是f(x)元、g(x)元, 则由题意,得 f(x)=a+(x+1)·=x+a(x∈N*),g(x)=(x+2)·a=x+(x∈N*). 令g(x)≥f(x),即x+a≤x+a.解得x≥1. 所以当家庭孩子是1个时,两家旅行社随便选择,当家庭孩子多于1个时,应选择甲旅行社. 【例3】 某地区上年度电价为0.8元/(千瓦·时)，年用电量为a千瓦·时.本年度计划将电价降到0.55元／(千瓦·时)至0.75元／(千瓦·时)之间，而用户期望电价为0.4元／(千瓦·时).经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元／(千瓦·时). (1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式； (2)设k=0.2 A，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? 〔注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)〕 解:(1)设下调后的电价为x