高中总复习第一轮数学 (新人教A)第二章 2.2 函数的表示.docVIP

2.2 函数的表示 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.解析法:就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式. 2.列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 3.图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 二、点击双基 1. 若f(sinx)=2-cos2x,则f(cosx)等于( ) A.2-sin2x B.2+sin2x C.2-cos2x D.2+cos2x 解析:∵f(sinx)=2-(1-2sin2x)=1+2sin2x， ∴f(cosx)=f(sin-x)=1+2sin2(-x)=1+2cos2x=2+cos2x. 答案:D 2．函数f(x)=|x-1|的图象是( ) 解析:转化为分段函数y= 答案:B 3．已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m、n∈N*),且对任何m、n∈N*都有: ①f(m,n+1)=f(m,n)+2;②f(m+1,n)=2f(m,n).给出以下三个结论: (1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26.其中正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:f(1,5)=f(1,4)+2=…=f(1,1)+8=9,可知①正确. f(5,1)=2f(4,1)=4f(3,1)=8f(2,1)=16f(1,1)=16,可知②正确. f(5,6)=16f(1,6)=16［f(1,5)+2］=16×(9+2)=176,可知③错误.故选B. 答案:B 4．若f(x)=,则方程f(4x)=x的根是________________. 解析：因为f(x)=, 所以f(4x)=x等价于=x. 所以4x2-4x+1=0,x=. 答案: 诱思·实例点拨 【例1】 已知函数f(x)=的定义域是R，则实数a的取值范围是( ) A.a B.-12a≤0 C.-12a0 D.a≤ 剖析:由a=0或可得-12a≤0. 答案:B 【例2】 若函数f(x)=的值域为［-1，5］，求实数a、c. 解:由y=f(x)=，得x2y-ax+cy-1=0.当y=0时,ax=-1,∴a≠0.当y≠0时， ∵x∈R,∴Δ=a2-4y(cy-1)≥0. ∴4cy2-4y-a2≤0.∵-1≤y≤5, ∴-1、5是方程4cy2-4y-a2=0的两根. ∴ 讲评:求f(x)=(a12+a22≠0)的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式.求解时，要注意二次项系数为字母时要讨论. 【例3】已知函数f(x)=ax2+bx+c(a0且bc≠0). (1)若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求f(x)的解析式; (2)令g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在x轴上截得的弦的长度为l,且0l≤2,试确定c-b的符号. 剖析:对于(1),条件|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1给出了a、b、c间的关系,对它们进行分析、变形可求出a、b、c的值;对于(2),条件g(1)=0给出了a、b间的关系,条件0l≤2可给出a、c间的关系,而a0,故c-b的符号可判断. 解:(1)由已知|f(1)|=|f(-1)|,有|a+b+c|=|a-b+c|,得(a+b+c)2=(a-b+c)2. 可得4b(a+c)=0. 因为bc≠0,所以b≠0. 所以a+c=0. 又由a0,有c0. 因为|c|=1,所以c=-1,a=1,|b|=1. 所以f(x)=x2±x-1. (2)g(x)=2ax+b,由g(1)=0,有2a+b=0,b0. 设方程f(x)=0的两根为x1、x2,则x1+x2=-=2,x1·x2=. 所以|x1-x2|=. 由已知0|x1-x2|≤2,所以0≤1. 又因为a0,bc≠0, 所以c0.所以c-b0. 讲评:题目的条件由绝对值给出,给题目的解答带来了一定难度.解题过程中,要注意变量的取值范围,这一点正是处理函数问题要注意的.