高中总复习第一轮数学 (新人教A)第九章9.13 立体几何的综合问题.docVIP

9.13 立体几何的综合问题 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.线与线、线与面、面与面间的平行、垂直关系. 2.空间角与空间距离. 3.柱、锥、球的面积与体积. 4.平面图形的翻折,空间向量的应用. 二、点击双基 1.若Rt△ABC的斜边BC在平面α内,顶点A在α外,则△ABC在α上的射影是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.一条线段或一钝角三角形 解析:当平面ABC⊥α时,为一条线段,结合选择肢,知选D. 答案:D 2.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为( ) A.1+ B.2+ C.3 D.2 解析:求表面上最短距离常把图形展成平面图形. 答案:C 3.设长方体的对角线长为4,过每个顶点的三条棱中总有两条棱与对角线的夹角为60°,则长方体的体积是（ ） A.27 B.8 C.8 D.16 解析:先求出长方体的两条棱长为2、2,设第三条棱长为x,由22+22+x2=42x=2, ∴V=2×2×2=8. 答案:B 4.棱长为a的正方体的各个顶点都在一个球面上,则这个球的体积是_________________. 解析:易知球的直径2R=a. 所以R=a.所以V=R3=a3. 答案:a3 5.设地球半径为R,A、B的球面坐标分别为东经40°、北纬45°,西经50°、北纬45°,则A、B间的球面距离为_________________. 解析:北纬45°圈中心为O1,球心为O,则∠AO1B=40°+50°=90°,OO1⊥圆O1,OO1⊥O1A,OO1⊥O1B,∠OBO1=∠OAO1=45°,O1A=O1B=O1O=OAcos45°=R. 在Rt△AO1B中,AB=R,故∠AOB=.A、B间的球面距离为R. 答案:R 诱思·实例点拨 【例1】在直角坐标系O—xyz中,=(0,1,0),=(1,0,0),=(2,0,0),=(0,0,1). (1)求与的夹角α的大小; (2)设n=(1,p,q),且n⊥平面SBC,求n; (3)求OA与平面SBC的夹角; (4)求点O到平面SBC的距离; (5)求异面直线SC与OB间的距离. 解:(1)如图,=-=(2,0,-1), =+=(1,1,0),则 ||==,|OB|==. cosα=cos〈,〉===,α=arccos. (2)∵n⊥平面SBC, ∴n⊥且n⊥,即 ∵=(2,0,-1),=-=(1,-1,0), ∴∴即n=(1,1,2). (3)OA与平面SBC所成的角θ和OA与平面SBC的法线所夹角互余,故可先求与n所成的角. =(0,1,0),| |=1,|n|==. ∴cos〈,n〉===, 即〈,n〉=arccos. ∴θ=-arccos. (4)点O到平面SBC的距离即为在n上的投影的绝对值, ∴d=|·|==. (5) 在异面直线SC、OB的公垂线方向上的投影的绝对值即为两条异面直线间的距离,故先求与SC、OB均垂直的向量m. 设m=(x,y,1),m⊥且m⊥, 则m·=0,且m·=0. ∴即 ∴m=(,-,1),d′=|·|= =. 链接·提示 借助于平面的法向量,可以求斜线与平面所成的角,求点到平面的距离,类似地可以求异面直线间的距离.本题选题的目的是复习如何求平面的法向量,以及如何由法向量求角、求距离. 【例2】如图,已知一个等腰三角形ABC的顶角B=120°,过AC的一个平面α与顶点B的距离为1,根据已知条件,你能求出AB在平面α上的射影AB1的长吗?如果不能,那么需要增加什么条件,可以使AB1=2? 解:在条件“等腰△ABC的顶角B＝120°”下,△ABC是不能唯一确定的,这样线段AB1也是不能确定的,需要增加下列条件之一,可使AB1=2: ①CB1=2;②CB=或AB=;③直线AB与平面α所成的角∠BAB1=arcsin;④∠ABB1=arctan2;⑤∠B1AC=arccos. 【例3】如图,已知直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是以∠C为直角的等腰直角三角形,AC=BC=CC1=2,M、N分别在棱CC1、A1B1上,N是A1B1的中点. (1)若M是CC1的中点,求异面直线AN与BM所成的角; (2)若点C关