高中总复习第一轮数学 (新人教A)第九章9.11 多面体与正多面体.docVIP

9.11 多面体与正多面体 巩固·夯实基础 一、自主梳理 1.若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. 2.每个面都是有相同边数的正多边形,每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体,叫做正多面体. 3.正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种. 4.如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E,那么V、E、F三者之间的关系是V+F-E=2,称之为欧拉公式. 二、点击双基 1.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是（ ） 答案:B 2.已知一个凸多面体的各面均为五边形,且共有30条棱,则此多面体的面数F和顶点数V分别等于( ) A.F=6,V=26 B.F=28,V=12 C.F=12,V=20 D.F=8,V=24 解析:由已知E=30,又E=,所以F=12,由欧拉定理得V=20. 答案:C 3.棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为( ) A.a3 B.a3 C.a3 D.a3 解析:易知所求八面体为正八面体,其上半部分为正四棱锥,则V八面体=2V正四棱锥 =2··(a)2·a=a3. 答案:B 4.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,那么所得四棱柱的全面积为______________________. 解析:拼成四棱柱后,少了两个面积为a2的面,多了两个面积为a2的面,因此所得四棱柱的全面积为6a2-2a2+2a2=(4+2)a2. 答案:(4+2)a2 诱思·实例点拨 【例1】C70分子有与C60分子类似的球状多面体结构.它有70个顶点,每个顶点处有3条棱,各面是五边形或六边形,且五边形与六边形没有公共点,则C70分子中五边形的个数为______,六边形个数为_____________. 解析:设五边形个数为x,六边形个数为y, 则 解得 答案:12 25 【例2】已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于（ ） A.- B. C.- D. 解析:将正四面体嵌入正方体中，计算易得 cosθ==-（设正方体的棱长为2）. 答案:A 【例3】如图,三个12×12 cm的正方形，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积. 解法一:补成一个正方体，如图甲，V=V正方体=×123=864 cm3. 解法二:补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥-3V小三棱锥=864 cm3. 链接·聚焦 补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法.