第9计瞎子开门伸手摸缝.docVIP

第9计 瞎子开门 伸手摸缝 计名释义 命题人本来为解题人设计了“题门”，即所谓题目的入口处.但对“瞎子”来讲，他不是在看，而是用手去摸.在摸的过程中，他没有能力关心整个大门，而只是关心这个门的门缝.如果遇上了门缝，他便将手伸到门的后面，轻轻地把门闩拉掉，题门也就随之开了. ●典例示范 ［例题］（2005年鄂卷第22题） 已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正，且满足， （Ⅰ）证明：，； （Ⅱ）猜测数列{}是否有极限？如果有，写出极限的值； （Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当nN时，对任意b0，都有 ［分析］ 此题有3扇门，即题问（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）.用手去摸，发现（Ⅱ）是个门缝，因为（Ⅱ）最轻便：一是“猜”，二是“写出”（不要求说道理）. 于是，可以把手伸到（Ⅰ）的后面，把（Ⅱ）当作门闩抽掉. ［解Ⅱ］ 因为0 an 而后者的极限是0，所以an的极限是0. ［插语］ 解（Ⅱ）之时，承认并利用了（Ⅰ）的结果. ［评说］ 这么难的压轴题，竟这么容易地拿下了它的三分之一.即使最后不能攻下（Ⅰ），而（Ⅱ）的分数却已经拿到手了. 拿下（Ⅱ）之后，可以直抓后面的（Ⅲ）.既然an→0，那么要它an，那就解不等式求N罢了.这时，仍然可以把（Ⅰ）的结果当作已知. ［解Ⅲ］ （放大为了化简） 令， 故取N=1024，可使当nN时，都有 ［插语］ （Ⅱ），（Ⅲ）已破，题门大开，回师攻（Ⅰ）形势更好. ［解Ⅰ］ 问题简化为 已知：① ② 求证：③ ［插语］ 先抓住求证式③，其右边的分母中有变量，顺藤摸瓜，找到已知式①中的，不过它却在“分子”上.至此，快摸到问题（Ⅰ）的“门闩”. ［续解］ 式③变为 得式④ . ［插语］ 式④即为题（Ⅰ）的门闩. 以下用式④与式②连接，从式②中变出. ［续解］ 由式②得 得式⑤ 依次令n=2,3,4,……得 … 两边相加得 ⑤ 代式① 于⑤ 得.这就是要证的式④. 从而证得式③：，即问题（Ⅰ）得证. ［插语］ 变③为④，用的是分析法.变①、②为⑤，用的是综合法. 条件（①，②）不等式（③）的证明，经常利用“分析—综合法”进行两边夹攻. ［评论］ 本题是一道难度很高的压轴大题，“伸手摸缝”的策略，改变了命题人原来设定的解题顺序，即从（Ⅰ）到（Ⅱ）、再到（Ⅲ）的一般顺序.从而使得易解的（Ⅱ）成为该大题的“题缝”. 对于最难的题（Ⅰ），仍然采用了中间突破的办法，成功的关键也是从中找到了题（Ⅰ）的题缝：，实际上，不等式的证明中，分析法与综合法的接头处，正是问题的题缝. ●对应训练 对以上例题第（Ⅰ）问改为如下的问题： 已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正，且满足， （Ⅰ）设f(n)= ,用数学归纳法证明：； （Ⅱ）求证：，； ●参考答案 ［分析］　本题的（Ⅰ）、（Ⅱ）问，显然第（Ⅱ）问比第（Ⅰ）问容易.因此我们可以先解第（Ⅱ）问，这时必需把第（Ⅰ）问的结果当作已知——题门从后面拨开. 解（Ⅱ）： 由已知不等式 得≤ 解（Ⅰ）： 设，利用数学归纳法证不等式 （ⅰ）当n=3时，由， 知不等式成立 （ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即，则 即当n=k+1时，不等式也成立 由（ⅰ）（ⅱ）知， ［插语］ 数学归纳法证题，在k到k+1之间，存在着一个“题缝”.从k正推，属综合法；由k+1反推，属分析法.“题缝”就藏在综合与分析的“接头处”.从考场策略上讲，若在“接头处”遇上困难，可用“因为——所以”的模糊法把前后的“裂缝拉拢”，以便逃脱阅卷人的苛求. ［说明］ 这里的解答，把（Ⅱ）放在（Ⅰ）的前面，只是“草纸”上的思考顺序.真正在试卷上答题时，仍应把第（Ⅰ）问的解答放在前面，除非对（Ⅰ）没有解出. 数学破题36计