第7讲三角变换与解三角形(教师).docVIP

专题 　与 第讲1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.(3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)tan 2α＝. ．正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． ．余弦定理 (1)a2＝b2＋c2－2bccosA,cosA＝；(2)b2＝c2＋a2－2cacosB,cosB＝； (3)c2＝a2＋b2－2abcosC,cosC＝. 题型一　三角变换及求值 例1 (1)求值：； (2)已知α∈(,π),且sin＋cos＝. ①求角α的值； ②若sin(α－β)＝－,β∈(,π),求cosβ的值． 【解答】 (1)原式＝＝ ＝＝＝＝. (2) ①∵sin＋cos＝, 两边平方得1＋2sin·cos＝,∴sin α＝.∵α∈(,π),∴α＝. ②∵β∈(,π),∴α－β∈(－,)．又sin(α－β)＝－, ∴cos(α－β)＝＝, ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β)＝－×＋×(－)＝－. 【探究提高】 (1)是给角求值的题型,要统一角和函数名称,从切化弦入手,具体的化简过程不唯一；(2)是给值求角和给值求值的题型,给值求角一是要求出角的某种三角函数值,二是要确定角的范围,从而确定角的大小；给值求值要注意已知式与要求式之间的联系． 善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系,整体运用条件中角的函数值可使问题简化． 变式 已知α,β∈(0,π),且tan(α－β)＝,tan β＝－,2α－β＝ (1)∵0βαπ,∴－－β,α－π, ∴cos(－β)＝ ＝,sin(α－)＝ ＝, ∴cos＝cos[(α－)－(－β)]＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)＝(－)×＋×＝, ∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－. 2)tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝, tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝＝1. ∵tan α＝0,∴0α,∴02απ. 又tan 2α＝＝0,∴02α. ∵tan β＝－0,∴βπ,∴－π2α－β0.∴2α－β＝－. 题型二　正、余弦定理的应用 例2 已知△ABC是半径为R的圆内接三角形,且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B. (1)求角C； (2)试求△ABC的面积S的最大值． 思维启迪题设中的条件等式是△ABC中角、边及外接圆半径R的混合关系式,因此,可以利用正、余弦定理将其统一为一种元素(边或角)． (1)由2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin B, 两边同乘以2R,得(2Rsin A)2－(2Rsin C)2＝(a－b)2Rsin B, 根据正弦定理,得a＝2Rsin A,b＝2Rsin B,c＝2Rsin C, ∴a2－c2＝(a－b)b,即a2＋b2－c2＝ab. 再由余弦定理,得cos C＝＝, 又0Cπ,∴C＝. (2)∵C＝,∴A＋B＝.S＝absin C＝(2Rsin A)(2Rsin B)＝R2sin Asin B ＝－R2[cos(A＋B)－cos(A－B)]＝R2[＋cos(A－B)]． ∵0Aπ,0Bπ,∴－πA－Bπ, 当且仅当A－B＝0,即A＝B＝时,cos(A－B)＝1,S取到最大值R2. 【探究提高 正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系,解题时要根据具体题目合理选用,有时还需要交替使用．本例中将三角形面积S表示为cos(A－B)的形式,利用三角函数的知识求解是关键． 变式 (2010·辽宁)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)·sin C. (1)求A的大小； (2)求sin B＋sin C的最大值． (1)由已知,根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c,即a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A,所以cos A＝－,又0°A180°,故A＝120°. (2)由(1)得sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)＝cos B＋sin B＝sin(60°＋B)． 故当B＝30°时,sin B＋sin C取得最大值1. 题型三　三角函数的最值与变换 例 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接矩形ABCD(如图2－4－1所示)作为桌面,若扇形的半径为1