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在空氣阻力下的拋物運動 空氣阻力 一般物體在空氣中運動所受的阻力大小大略與物體對空氣相對速度平方成正比，方向則與相對速度方向相反，因此阻力可表示為： f = -D|v|v 其中 v 為物體對空氣的相對速度，如果空氣為靜止，v 就是物體的速度；式中的負號表示阻力與速度方向相反。當 v 為正時，|v|v 為正；當 v 為負時，|v|v 為負（若寫成 v2 則始終為正）。上式中的 D可表示為： 其中 ?a 為空氣密度，在常溫常壓下約為 1.2 kg/m3；A 為物體面對運動方向上的截面積（cross-sectional area），當物體以較大的截面積面朝向運動方向時，所受的阻力較大，反之則較小；C 則是一個與物體形狀、表面粗糙度、空氣黏性、…等因素相關的無因次阻力係數（resistance coefficient）。下表所列為一些狀況下的阻力係數值。 光滑圓球 棒球 圓柱 圓盤 人 機翼 汽車 0.5 0.3 1.2 1.1 0.9 0.01 0.4 當物體在靜止空氣中做拋物運動時，在水平（x）與鉛垂（y，朝上為正）方向的牛頓第二定律方程式分別為： 或 (1) (2) 其中 ax 與 ay 分別為物體在兩個方向上的加速度；m 為物體質量；vx 與 vy 分別為物體在兩個方向上的運動速度，g 為重力加速度。由於物體面對兩個方向的截面積可能不同，故分別以 Dx 與 Dy 區別。 考慮一個在靜止空氣中做拋物運動的圓球，圓球密度為 ?，半徑為 r，物體無論面對任何方向的截面積都是 於是 而物體的質量可由體積 V = 4?r3/3 得 代入式（1）與（2）可得： (3) (4) 顯然這種運動不是等加速度運動，因為加速度會隨速度的大小而改變。所以一般等加速度運動方程式都不適用在這種狀況下。但我們還是可以利用等加速度運動方程式解決這個問題。 近似解法 如果在一段相當短由 t 到 t+?t 的時段內（意思就是 ?t 很小），ax 與 ay 變化不太大，我們可以將原來的加速度方程式稍加修改： (5) (6) (7) (8) 上面幾個式子的基本理念如下： 1. 用 t 到 t+?t 時段開頭的位置 x(t) 與 y(t) 做為起始位置。 2. 用 t 到 t+?t 時段開頭的速度 vx(t) 與 vy(t) 做為起始速度。 3. 用 t 到 t+?t 時段開頭的速度 vx(t) 與 vy(t) 計算阻力與加速度 ax(t) 與 ay(t)。 4. 用 t 到 t+?t 時段開頭的加速度 ax(t) 與 ay(t) 做為整個時段的等加速度值（只是個近似值，如果 ?t 很小的話，加速度值在這個時段內應該不會變化太多）。 此外我們還需要知道圓球在 t = 0 時的位置 x(0) = x0，y(0) = y0 以及速度 vx(0) = vx0 = v0cos?0，vy(0) = vy0 = v0sin?0，其中 ?0 為射角。 範例 以一個範例做說明： 空氣密度 ?a： 1.2 kg/m3 阻力係數 C： 0.3 圓球密度 ?： 2000 kg/m3 圓球半徑 r： 0.025 m 時間間距 ?t： 0.01 s（希望夠小） 初速 v0： 50 m/s 重力加速度 g： 9.8 m/s2 射角 ?0： 40 度 起始位置 (x0, y0)： (0, 0) m 這差不多是一個棒球被擊出的狀況。先將後面會用到的參數算好： 圓球截面積 A： m2 D： kg/m 圓球體積 V： m3 圓球質量 m： kg D/m： m-1 水平初速 v0x： = 38.30 m/s 垂直初速 v0y： = 32.14 m/s 這些資料齊備後，就可以逐步計算： t = 0 時 在起始時，所有條件均已給定，所以： x(0) = x0 = 0 m y(0) = y0 = 0 m vx(0) = v0x = 38.30 m/s vy(0) = v0y = 32.14 m/s 有了速度後，加速度便可利用式（3）與（4）計算： m/s2 m/s2 t = 0.01 s 時 利用式（5）與（6）求得： m/s m/s 利用式（7）與（8）求得： m m 接著利用式（3）與（4）求得 t = 0.01 s 時的加速度，以提供次一個時間（t = 0.02 s）計算使用： m/s2 m/s2 t = 0.02 s 以後 依前述方法，每隔 0.01 s 計算一次，最後你就會得到位置、速度與加速度對時間的關係。 使用 Excel 你或許會說，天呀！照這樣算下去要算到什麼時候才能畫出一個拋物軌跡來。 記得二十年前，美國軍方就開發出一種雷達，可以偵測到敵方射出的砲彈（當然是在空氣中飛行），並預估砲彈的落點，一方面對己