第七节无穷级数自测题提示与答案.docVIP

六、自测练习题提示与解答 由于上式两边对x求导数得 当 时，即有 应填4． 由于级数的收敛半径为： 收敛区间为当时收敛；当时发散. 级数的收敛域为应填 3. 由于 所以又由于则有 即有当时，发散； 当时，发散．级数的收敛域为应填 4. 由于 即有所以该幂级数的收敛半径为应填 5. 时由阿贝定理知时幂级数绝对收敛， 所以该幂级数的收敛半径为4．应填4． 6．在处条件收敛，则的收敛半径为2．由于只有偶次幂的项，故其收敛半径为收敛区间为又由于在处都收敛， 故所给幂级数的收敛域为应填 7. 收敛半径显然只有当时上式成立． 故应填． 8. 依题意知所给三角级数是对函数作周期为2的奇开拓的傅立叶级数，所以有 应填 9.应选(A).用排除法.对选项(D)，只有正项级数才有比较审敛法，故选项（D）错误． 对于选项（C），例如发散，但不满足故选项（C）错误．对于选项（B），由于所以当和收敛时，有收敛而不是逆命题成立，故选项（B）错误．由排除法选项（A）正确． 10.选(D).用直接法．因为所以有即有而收敛，从而收敛，故绝对收敛，肯定收敛，因此选项(D)正确． 11.选(C).用排除法．选项（A）显然不正确．对于选项（B），若则而收敛，故选项（B）错误．对于选项（D）,若则而收敛，故选项（D）错误．由排除法选项（C）正确． 12. 选(D).用排除法.对选项(A),当时,与 未必为正项级数,故选项(A)错误.对于选项(B),当时,未必故选项(B)错误.对于选项(C),此时发散,但未必发散,故选项(C)错误.由排除法选项(D)正确.事实上,由必有所以为正项级数.若发散,则必发散,由比较法知发散,故选项(D)正确． 13.应选(B).用直接法.由题设在点处,所以在处级数绝对收敛,故选项(B)正确． 14. 应选（）． 其中与都收敛,故收敛. 但其中收敛, 发散, 从而必发散,所以条件收敛, 因此选项(B)正确. 15. 应选（）．为正项级数,而由于收敛,由比较法知收敛,因此绝对收敛,选项(B)正确. 16.由于则为正项级数．用比值法级数收敛． 17．则为正项级数．用比值法． 所给级数收敛． 18.由于则为正项级数．用比值法． 当时，（(）式极限为1，比值法失效，但此时所给级数发散．当时，（(）式极限为所给级数收敛．当时，（(）式极限为所给级数收敛． 19.由于则为正项级数，用比值法 当时，所给级数收敛．当时，所给级数发散． 20．由于则为正项级数．由正项级数比较审敛法的极限形式知：若当时, 与为同阶无穷小,则级数与P级数有相同的敛散性.由于 (令则n(∞时,t(0) 则有: 所以当时,即当 时,与为同阶无穷小,可见当时,有p1,此时p级数收敛，因此级数 也收敛.当时, 有0 p 1 ,此时p 级数发散,因此级数 也发散. 21.由于时比趋于无穷大更快些，所以为单调减函数．因此有根据莱布尼兹审敛法知所给交错级数收敛． 22. 由于 当时所给级数绝对收敛；当时所给级数为是收敛的且为条件收敛． 当时交错级数满足莱布尼兹审敛法的两个条件，所以是收敛的且为条件收敛． 23.证：已知则有 又已知和 都收敛，所以收敛．由比较审敛法知 收敛．而由收敛级数的性质知：级数收敛．证毕． 24.证：由于 又由于收敛，则有即有从而 其中（收敛数列必有界），所以有已知绝对 收敛，即收敛，也即收敛．由比较审敛法知收敛，因此级数绝对收敛．证毕． 25.证：已知绝对收敛，所以收敛．由于由比较审敛法知 收敛，所以绝对收敛． 由绝对收敛知当n充分大时有由比较审敛知收敛．又由于 再由比较审敛法知收敛． 证毕． 26．（1）由于 所以收敛半径为即有也即有 则有：收敛区间为 当时，级数收敛； 当时，级数发散．收敛域为 （2）由于 若则有：收敛半径为可以验证级数发散． 若则有：收敛半径为可以验证级数发散． 所以所给幂级数的收敛域为（教材答案书写不规范） （3）由于所给幂级数缺奇次幂的项，所以应直接用比值法求其收敛半径． 所以收敛半径为 收敛区间为当时，级数发散； 当时，级数发散．所给幂级数的收敛域为 27.由于收敛半径为收敛区间为 当时，级数发散； 当时，由于级数发散．所给幂级数的收敛域为 设则有 其中 所以和函数为 当时，有所以有 28. 其中 所以 29.设,则即为所求． 而 其中 所以 30．（1） (教材答案有误?) （2） （3） （教材答案有误？） 31. 32．所求极限即为幂级数的和函数在时的函数值． 设则有 所以 33． 所以 在处，傅里叶级数收敛于在处，傅里叶级数收敛于 34. 由于在为偶函数，所以 所以 （1） （1）式中令 可得即有（2） （1）式中令 可得 (3) (2) 与（3）相加得 （4） （2）与（4）相减得即有 35．证：由知又