高三数学二面角与距离.docVIP

课时考点16　二面角与距离 高考考纲透析： 熟练掌握求二面角的大小,空间距离的求法 高考热点： 求二面角每年必考,作为解答题可能性最大,空间距离则主要是求点到面的距离 知识整合: 1.二面角的平面角的作法: ①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法 2. 点到平面的距离求法有: ①体积法 ②直接法,找出点在平面内的射影 3.转化思想: 例如求一个平面的一条平行线上一点到这个平面的距离较难时,可转化为平行线上其他的点到这个平面的距离 热点题型1　求点到平面的距离 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1 （Ⅰ）求BF的长； （Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离 解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD. 又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2. （Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG， 则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG. 过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M， 由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且 AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离 解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）. ∵AEC1F为平行四边形， （II）设为平面AEC1F的法向量， 的夹角为a，则 ∴C到平面AEC1F的距离为 热点题型2　定义法作二面角的平面角 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点 （Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角； （Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小 18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分 方案一： （Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD， ∴由三垂线定理得：CD⊥PD. 因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直， ∴CD⊥面PAD. 又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA， 则∠PBE是AC与PB所成的角. 连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2， 所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90° 在Rt△PEB中BE=，PB=， （Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN. 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC, ∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角 ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC中，AN·MC=， . ∴AB=2， 故所求的二面角为 方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，. （Ⅰ）证明：因 又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD. 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD （Ⅱ）解：因 由此得AC与PB所成的角为 （Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使 要使 为所求二面角的平面角. 热点题型3　三垂线定理或逆定理作二面角的平面角 如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2 　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO1； （Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小. 解法一（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1. 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角， 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1 所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0）， B（0，3，0），C（0，1，） O1（0，0，）. 从而 所以AC⊥BO1. （II）解：因为所以BO1⊥OC， 由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量. 设是0平面O1AC的一个法向量， 由 得. 设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方向可知，， 所以cos，= 即二面角O—AC—O1的大小是 热点题型4