2016届四川中考数学专题复习学案八：二次函数与几何综合.docVIP

二次函数与几何综合二次函数与几何综合是四川中考压轴题的考查重点常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等．压轴题的综合性强难度大复习时应加强训练它是突破高分瓶颈的关键．　　　　　　　　　　　　　　　(2015·自贡)如图已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1且抛物线经过A(1)，C(0，3)两点与x轴交于点B. (1)若直线y＝mx＋n经过B、C两点求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M使点M到点A的距离与到点C的距离之和M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点求使BPC为直角三角形的点P的坐标．【思路点拨】　(1)利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；(2)利用抛物线的轴对称性与对称轴的交点即为M继而求出其坐标；(3)设P(－1)，用含t的代数式表示PB、PC.对直角顶点分三种情况讨论利用勾股定理建立方程可求得t的值．【解答】　(1)依题意得解得抛物线解析式为y＝－x－2x＋3.对称轴为x＝－1且抛物线经过A(1)， ∴B(－3)．把B(－3)、C(0)分别代入直线y＝mx＋n得解得直线y＝mx＋n的解析式为y＝x＋3.(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M则此时MA＋MC的值最小把x＝－1代入直线y＝x＋3得y＝2.(－1)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时的坐标为(－1)．(3)设P(－1)，又B(－3)，C(0，3)， ∴BC2＝18＝(－1＋3)＋t＝4＋t＝(－1)＋(t－3)＝t－6t＋10.若点B为直角顶点则BC＋PB＝PC即＋＋t＝t－6t＋10解得t＝－2；若点C为直角顶点则BC＋PC＝PB即＋－6t＋10＝4＋t解得t＝4；若点P为直角顶点则PB＋PC＝BC即＋t＋t－6t＋10＝18；解得t＝＝综上所述的坐标为(－1－2)或(1，4)或(－1)或(－1)．　(2015·攀枝花)如图已知抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A(－1)，B(3，0)两点与y轴交于点C抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M连接PB. (1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D使得BCD的面积最大？若存在求出D点坐标及BCD面积的最大值；若不存在请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q使得QMB与PMB的面积相等？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．【思路点拨】　(1)把A(－1)、B(3y＝－x＋bx＋c即可求出b和c的值进而求出抛物线的解析式；(2)设D(t－t＋2t＋3)作DHx轴则S＝S梯形＋S－S进而得到S关于t的二次函数利用二次函数的性质确定D点坐标与S的最大值；(3)因为两三角形的底边MB相同所以只需满足MB上的高相等即可满足题意．【解答】　(1)由解得抛物线解析式为：y＝－x＋2x＋3.(2)设D(t－t＋2t＋3)作DHx轴．令x＝0则y＝3(0，3)．则S＝S梯形DCOH＋S－S＝(－t＋2t＋3＋3)t＋(3－t)(－t＋2t＋3)－3×3 ＝－＋－＜0当t＝－＝时即D()时有最大值且最大面积为(3)∵P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一直线BC为y＝－x＋3过点P且与BCy＝－x＋5.由解得Q(2，3)；直线PM为x＝1直线BC为y＝－x＋3(1，2)．设PM与x轴交于E点＝EM＝2过点E且与BC平行的直线为y＝－x＋1.从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一．由解得Q(，－)(，－)．满足条件的Q点为Q(2，3)，Q2(，－)(，－)． 　(2013·绵阳)如图二次函数y＝ax＋bx＋c的图象的顶点C的坐标为(0－2)交x轴于A、B两点其中A(－1)，直线l：x＝m(m＞1)与x轴交于D.(1)求二次函数的解析式和B的坐标； (2)在直线l上找点P(P在第一象限)使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似求点P的坐标(用含m的代数式表示)；(3)在(2)成立的条件下在抛物线上是否存在第一象限内的点Q使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在请求出点Q的坐标；如果不存在请说明理由．【解答】　(1)∵抛物线y＝ax＋bx＋c的顶点坐标为C(0－2)＝0＝－2.＝ax＋bx＋c过点A(－1)， ∴0＝a＋0－2＝2抛物线的解析式为y＝2x－2.当y＝0时－2＝0解得x＝±1点B的坐标为(1)．(2)连接BC.设P(m)．PDB＝∠BOC＝90当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时分两种情况：若△OCB∽△DBP则＝即＝解得n＝此时点P坐标为(m)；若△OCB∽△DPB则＝即＝解得n＝2m－2.此时点P坐标为