《【备战2016中考数学专题讲座】第13讲：韦达定理应用探讨》.docVIP

福州五佳教育锦元数学工作室 编辑 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 韦达定理说的是：设一元二次方程有二实数根，则。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系。其逆命题：如果满足，那么是一元二次方程的两个根也成立。 韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式。 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③求方程中待定系数的值； ④在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年内蒙古包头3分）已知方程x2﹣2x﹣1=0，则此方程【 】 A．无实数根 B．两根之和为﹣2 C．两根之积为﹣1 D．有一根为 　 例2：（2013年湖北武汉3分）若，是一元二次方程的两个根，则的值是【 】 A．－2 B．－3 C．2 D．3 例3：（2013年湖南湘潭3分）一元二次方程x2+x﹣2=0的解为x1、x2，则x1?x2=【 】 A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 　 例4：（2013年四川雅安3分）已知x1，x2是一元二次方程的两根，则x1＋x2的值是【 】 A．0 B．2 C．－2 D．4 二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（），则称这个代数式为完全对称式，如等。扩展后，可以视中与对称。 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1： （2013年内蒙古呼和浩特3分）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是【 】 A．3或﹣1 B．3 C．1 D．﹣3或1 例2：（2013年湖北潜江、仙桃、天门、江汉油田3分）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为【 】 A．﹣1 B．9 C．23 D．27 　 例3：（2013年四川泸州2分）设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为【　　】 A．5　　　　　B．﹣5 　　　　　C．1　　　　　D．﹣1 例4：（2013年贵州黔东南4分）若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是 　 ▲ 　． ∴m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根。∴m+n=2，mn=﹣1。 ∴。　 例5：（2013年湖北荆门3分）设x1，x2是方程的两实数根，则=　 ▲ 　． 　 例6：（2013年四川眉山3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）= 　 ▲ 　． 例7：（2013年四川攀枝花4分）设x1，x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根，则的值为　 ▲ 　． 例8：（2013年四川自贡4分）已知关于x的方程，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是　 ▲ 　．（填上你认为正确结论的所有序号） 【答案】①②。 综上所述，正确的结论序号是：①②。 三、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数的值。 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1： （2013年广西桂林3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是【 】 A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2 例2：（2013年湖北鄂州3分）已知m，n是关于x的一