金融数学课件(电子科大)创新.ppt

* * 第五节　Black-Scholes公式的推导 　　　 修正模型看上去与GBM模型非常接近，但其与股价模型是完全不同的模型，因为该模型中股价的增长率被人为设低了。 * * 第五节　Black-Scholes公式的推导 二、期望值 　　对欧式看涨期权： 将式（5-16）代入得 * * 第五节　Black-Scholes公式的推导 若 则用 于是 * * 第五节　Black-Scholes公式的推导 根据期望的概念 如何求积分？ * * 三、两个积分 第五节　Black-Scholes公式的推导 由 求得 * * 第五节　Black-Scholes公式的推导 将上述积分展开成两部分 第二部分 * * 第五节　Black-Scholes公式的推导 第一部分 * * 变量代换，　　　　　　则 第五节　Black-Scholes公式的推导 * * 所以积分式的第二项等于 第五节　Black-Scholes公式的推导 将上述第一项和第二项的结果代入，得 * * 第五节　Black-Scholes公式的推导 其中 * * 第五节　Black-Scholes公式的推导 金融产品今天的价值，应该等于未来收入的贴现： 其中，由于风险中性定价， E是风险中性世界中的期望值。所有的利率都使用无风险利率：包括期望值的贴现率和对数正态分布中的期望收益率μ。 要求解这个方程，关键在于到期的股票价格ST，我们知道它服从对数正态分布，且其中所有的利率应用无风险利率，因此， * * 上式的右边求值是一个积分过程，求得： N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x的概率）。 这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式 第五节　Black-Scholes公式的推导 * * 首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值。因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。 第五节　Black-Scholes公式的推导 * * 　　　其次，　　 是复制交易策略中股票的数量，SN（d1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)则是复制交易策略中负债的价值。 　　　　最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权（Asset-or-noting call option）多头和现金或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，　SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值， -e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或无价值看涨期权空头的价值。 第五节　Black-Scholes公式的推导 * * 资产或无价值看涨期权：如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付一个等于资产价格本身的金额，因此该期权的价值为e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1) 现金或无价值看涨期权：如果标的资产价格在到期时低于执行价格，该期权没有价值；如果高于执行价格，则该期权支付1元， 由于期权到期时价格超过执行价格的概率为N(d2) ，1份现金或无价值看涨期权的现值为-e-r(T-t)N(d2) 。 第五节　Black-Scholes公式的推导 * * 第六节　看涨期权与看跌期权平价 欧式看涨期权的价格与欧式看跌期权的价格有关 若卖空一份带抛补的看涨期权 　　以S的价格买入一股股票 　　以C的价格卖出一份看涨期权，执行价为X 　　同时又买了一份价格为P的看跌期权，执行价为X 　（到期时间和执行价与看涨期权相同） * * 第六节　看涨期权与看跌期权平价 则当期 于是 * * 第六节　看涨期权与看跌期权平价 对于具有与欧式看涨期权定价相同参数的欧式看跌期权定价平价公式 将欧式看涨期权定价的Black-Scholes公式代入，得： 即 * * 第六节　看涨期权与看跌期权平价 t=0 t=T ST≥3.13 3.13ST2.9 ST≤2.9 卖武钢认购权证（执行价2.9元） C 2.9-ST 2.9-ST 0 买武钢股票 -S0 ST ST ST 买武钢认沽权证（执行价3.13元） -P 0 3.13-ST 3.13-ST 借入现金 2.9/(1+r)t/365 -2.9 -2.9 -2.9 现金流 C-P-S0+2.9/(1+r)t/365