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消失?! 秘密! 摘要 本研究從網路風行的影片為出發點，讓我好奇這樣消失的面積和似直角三角形的邊長有何關 係。利用中央矩形的切法進行抽絲剝繭，發現中央矩形的切法會影響似直角三角形的兩股長和邊 長m×n 消失方塊的面積。另外，還發現許多規律性，並利用邊長簡化推出邊長m×n 消失方塊、 −1 ℎ1 −1 ℎ2 似直角三角形的兩股長 ，與斜邊斜率差之間的關係式為∆ = tan −tan (其中h1:右 1 2 上直角長，w1: 右上直角寬，h2 : 左下直角長，w2 : 左下直角寬) ，右上直角三角形的邊 長= (ℎ1 × ) × (1 × ) ，左下直角三角形的邊長= (ℎ2 × ) × (2 × ) ，似直角三角形的邊長 = [(ℎ + ℎ )] × [( + )] 。最後利用Microsoft mathematics 軟體繪製出 「xy 函數圖模式」。 1 2 1 2 壹、研究動機： 網路上曾經流傳著一個影片( 【中央大學】物理演示實驗－消失的面積Disappeared Area (triangle)) 。影片中有一塊直角三角形，被分成了兩個小直角三角形、兩塊L 形拼圖，在移動這 四塊拼圖之後，形成了一塊兩股與移動前相等的直角三角形，但是竟然中間出現了一塊「消失 方塊」!這究竟是直角三角形面積增加了一塊?還是直角三角形減少了一塊呢?我便在網路上搜尋 了有關這個「魔術」的資料 ：數學史上十大難題之「消失的方格」，該文章中提及關於一開始的 直角三角形其實不是真的直角三角形 ，而兩個小直角三角形的斜邊斜率其實不同 ，很好奇在這 樣的圖形中是否隱藏數學規律 ，經探討發現並無文獻做這方面的研究 ，我猜測這應該跟圖形的 切法有很大的關係 ，所以便利用(三) 2-3 畢氏定理及繪圖軟體 ，從拼圖的切法開始研究起。 貳、研究目的： 一、探討似直角三角形之內部分割線的合理切法。 二、探討似直角三角形中間為m×n 消失方塊，消失方塊邊長、中央矩形邊長和似直角三角形 兩股長之間的關係與規律。 三 、探討中央矩形邊長之特性與其切法之關係。 四、似直角三角形當中間為m×n 的消失方塊時，探討其消失方塊與斜邊斜率差之一般化。 1 參、研究器材：Geogebra 、Microsoft mathematics 肆、名詞解釋： 一、似直角三角形 ：兩股互相垂直，但是斜邊不為一直線的形狀。包含內凹似直角三角形以 及外凸似直角三角形。 (一) 內凹似直角三角形 ：兩股垂直，但是斜邊內凹不為一直線 。 (二) 外凸似直角三角形 ：兩股垂直，但是斜邊外凸不為一直線。 例 ：圖4-1-1 中的橘色部分形狀為兩股5×13 的直角三角形；圖4-1-2 中的藍色部分形 狀為兩股5×13 的內凹似直角三角形，會形成一塊小三角形(紅色區域) 。圖4-1-3 中的藍色部分形狀為兩股5×13 的外凸似直角三角形，會形成一塊小三角形(橘色 區域) 。面積 圖4-1-3 圖4-1-1 圖4-1-2 。 斜邊為一直線 5 (直角三角形) 13 (圖4-1-1) 斜邊不為一直線 (內凹似直角三 角形) 5