邊長為正整數且有一個角是60或120的三角形-中研院數學研究所.pdfVIP

數學傳播 35 卷 1期, pp. 84-88 邊長為正整數且有一個角是 60◦ 或 120◦ 的三角形 鄭有志 一、 前言 2 2 2 2 當三角形的三邊長為 2mn, m −n , m +n (m、n 為一奇一偶的互質正整數且 m n), 2 2 即三邊長為勾股數 時, 我們清楚的知道, 此三角形必為直角三角形, 並且, 奇數斜邊長 m +n ◦ 所對角為 90 。 此著名的勾股數 讓筆者進一步想去瞭解, 是否有其他的正整數邊長數 , 其中的某一邊 的對角, 必定為某固定角。 二、 預備知識 定理 1. 設 θ = rπ , 其中 r 為有理數, 則 cos θ = 0, ± 1 , ±1 或為無理數。 [1][2] 2 ◦ 推論 1. 二銳角為有理度數的直角三角形中, 此二銳角的餘弦值中有有理數的三角形必為 30 – ◦ ◦ 60 –90 且三邊長中必至少有一邊長為無理數。 證: 由定理 1 得此有理銳角的餘弦值必為 1 ◦ ◦ ◦ ◦ 2 故此銳角為 60 , 所以, 三角形必為 30 –60 –90 , 其邊長比為 1 : √3 : 2, 因此, 三邊長中必至少有一邊長為無理數。 定理 2. 設三角形三邊長分別為 a, b, √a2 − ab + b2 則其第二大角度量為 60◦ 且其對邊 √a2 − ab + b2 為第二長邊。 2 2 2 2 √ 證: a2 − ab + b2 所對角的餘弦值為 a + b − (a − ab + b ) = 1 得此角為 60◦ 而此角 2ab 2 一定是第二大角, 再由 「大角對大邊定理」 得知此第二大角所對邊 √a2 − ab + b2 一定是第二 長邊, 故得證。 84 邊長為正整數且有一個角是 60◦ 或 120◦ 的三角形 85 問題 1. 試找出所有的有理數 x, 使得 √x2 + x + 1 也是有理數。 [3] √ 2t − 1 結果: 對所有的 |t | 1, t ∈ Q, 若 x = 1 − t2 , 則 x2 + x + 1 亦為一有理數, 而有理數 2 √ t − t + 1 x2 + x + 1 = 1 − t2 三、 主要內容 若 △ABC 的三邊長 a, b, c 皆為正整數且三個角 ∠A, ∠B , ∠C 的角度皆為有理數度 a2 + b2 − c2 數, 由餘弦定理得 cos C = 為有理數。 2ab