2008年全国初中数学竞赛试题(含答案).docVIP

2007全国数学竞赛练习(四) 方程的公共根、有理数根、整数根 试题精选： 例1、（1989年全国初中数学联赛题）已知首项系数不相等的两个方程：　 (a-1)x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0①和 (b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0② (其中a,b为正整数) ；　　方程②两根是b和. ∵由已知a1,　b1且a≠b. 　　∴公共根是a= 　或b=. 　　两个等式去分母后的结果是一样的. 即ab－a=b+2, ab－a－b+1=3, (a－1)(b－1)=3. ∵a,b都是正整数，　∴　或. 解得或. 例2、（1993年苏州市初中数学竞赛题）若m为给定的有理数,k为何值时,方程 的根总为有理数？ 解：∵. 要使原方程有有理根,只需为完全平方式，只需为完全平方式,从而只需 Δ= ∴. 故当时，原方程的根总为有理数. 例3、(2002年全国初中数学联赛)试确定一切有理数r,使得关于x的方程有根且只有整数根. 解：（1）当时，方程化为,方程有整数根； （2）当时,设方程两整数根为，（）,则 . 两式相减，得 即 又，且，为整数， ∴ ； 。 解得 ， ∴或. 综上可得，r为0，，. 例4、（2005全国初中数学竞赛）已知p，q都是质数,且使得关于x的二次方程至少有一个正整数根,求所有的质数对（p，q）. 解：方程有一个正整数根,设为x1,另一个根为x2， 那么x2=8p-10q-x1，所以x2也是整数. 再由x2=5pq/x10，x2也是正整数 由x1x2=5pq，p、q为质数，所以5pq的约数只有1,5,p,q,5p,5q,pq,5pq 由x1和x2的 对称性 x1和x2可以为下面四对 x1=1，x2=5pq、x1=5 ，x2=pq、x1=p，x2=5q 、x1=5p，x2=q 现在分组讨论 当x1=1，x2=5pq x1+x2=5pq+1=8p-10q 由于q2，所以5pq+110p8p-10q，所以这种情况没有解 当x1=5，x2=pq x1+x2=pq+5=8p-10q=(p+10)(q-8)=-85=-(5*17) 此时p+1010，所以 p+10只可能等于17，85 p+10=85= p=75不是质数 p+10=17= p=7是质数 因此q-8=-5=q=3是质数 质数对(7，3)满足要求 当x1=p，x2=5q x1+x2=p+5q=8p-10q=15q=7p (4) 当x1=5p，x2=q x1+x2=5p+q=8p-10q=11q=3p 为整数,且关于的方程有整数根,则的值为 ； 3．若方程 与 有公共根并且q,试求的值﹢2（2a﹣1）ｘ﹢4（a﹣3）=0至少有一个整数解.（参数交换法） 5．设关于x的二次方程的两根都是整数 求满足条件的所有实数k的值 6．试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数(顺序不变)之和的平方,恰好等于这个四位数. 答案： 0或3 3、解：设两方程的公共根为，则 ??(1)－(2)，得 因q，故＝1??? 把x＝1代入(1)，得p＋q＝－1??? 4、解：原方程可化为 ∵a为正整数，即 ∴ ∴整理得 解得 当时，； 当时，. 5、解：原方程可化为 　　　　　　　　(k-4)(k-2)x2+(2k2-6k-4)x+(k-2)(k+2)=0， (k-4)x+(k-2)］［(k-2)x+(k+2)］=0， (k-4)(k-2)≠0， ,. ∴ , . (x1≠-1,x2≠-1) 消去k,得 x1x2+3x1+2=0， x1(x2+3)=-2 . 由于x1、x2都是整数， ∴ 　 　 k=6,3,. 经检验，k=6,3,. 满足题意 - 5 -