最大值、最小值问题.pptVIP

* §3．6 最大值、最小值问题 极值与最值的关系 最大值和最小值的求法 最大值和最小值的应用 最大值、最小值问题 特殊情况下的最大值与最小值 最大值、最小值问题 极值与最值的关系： x1 x2 x3 x4 x5 x y O a b y=f(x) 最大值：f (b)， 最小值：f (x3)． 观察： x1 x2 x3 x4 x5 x y O a b y=f(x) 最大值：f (x4)， 最小值：f (x3)． 最大值、最小值问题 极值与最值的关系： 观察： 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则函数的最大值和最小 值一定存在．函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得， 如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间(a，b)内取得， 在这种情况下，最大值一定是函数的极大值．因此，函数在闭区 间[a，b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点 的函数值中最大者．同理，函数在闭区间[a，b]上的最小值一定 是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者． 最大值、最小值问题 极值与最值的关系： 设f(x)在(a，b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值)为 x1，x2， · · · ，xn，则比较 f(a)，f(x 1)， f(x 2)， · · · ，f(x n)，f(b) 的大小，其中最大的便是函数f(x)在[a，b]上的最大值，最小的 便是函数f(x)在[a，b]上的最小值． 求最大值和最小值的步骤： (1)求出f(x)在(a，b)内的所有驻点和不可导点； (2)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值； (3)比较上述函数值，找出最大的和最小的． 最大值和最小值的求法： 例1 求函数y?2x3?3x2?12x?14在[?3, 4]上的最大值与最小值． 解 f(x)? 2x 3?3x 2?12x ?14， f ?(x)?6x 2?6x?12?6(x?2)(x?1)， 解方程f ?(x)?0，得一 x1??2，x2?1，由于 f(?3)? 2(?3)3?3(?3) 2?12(?3) ?14?23； f(?2)? 2(?2)3?3(?2) 2?12(?2) ?14?34； f(1)?2?3?12?14?7； f(4)?2·4 3?3·4 2 ?12·4?14?142， 比较可得f(x)在 x?4取得它在[?3，4]上的最大值f(4)?142 ,在 x?1取得它在[?3，4]上的最小值f(1)?7． 例2 铁路线上AB段的距离为100km．工厂C距A处为20km， AC垂直于AB．为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂 修筑一条公路．已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货 运的运费之比3:5．为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最 省，问D点应选在何处？ 100km D A B C 20km 最大值和最小值的应用： 解 设AD?x (km)，则 DB?100?x ， 100km D A B C 20km 设从B点到C点需要的总运费为y，那么 y?5k·CD?3k·DB (k是某个正数)， 即 先求y对x的导数： ， 解方程y??0，得x?15(km)． 其中以y|x?15?380k为最小，因此当AD?x?15km时，总运费为最省． 解 设AD?x (km)，则 DB?100?x ， 设从B点到C点需要的总运费为y，那么 y?5k·CD?3k·DB (k是某个正数)， 即 如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个 驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极 大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时， f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值． 特殊情况下的最大值与最小值： f(x0) O a x0 b x y?f(x ) y f(x0) O a x0 b x y?f(x ) y 如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个 驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极 大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时， f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值． 特殊情况下的