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素数定理另证 李文威 1 言 素数分布是数论中最核心的课题之一. 试详言之: 考虑函数 # 素数 对于任一对函数 , 我们以 (当 ) 表示 lim . 函数 的 渐近行为由以下著名的素数定理给出. 定理 1.1. 当 时, 有 log 素数定理的发现至少可以追溯到 Gauß 和 Legendre 在 19 世纪的工作. Riemann 则首先揭示了素数 分布和 函数的联系. 素数定理的证明颇多, 以下且略述一二. 第一个严格证明无疑归于 Hadamard 和 de la Vallé Poussin (1896), 他们的证明使用了复分析. Selberg 和Erdős 于 1949 年各自给出独立的“初 等”证明. 其后, Newman 在 1980 年给出目前已知的最短证明 [5], 但其中仍然用到了复分析中的Cauchy 积分公式. 在另一条战线上, 借助于Wiener 证明的 Tauber 型定理 (1932), 素数定理有了若干种新证明; Hadamard 等人使用的复分析技巧被经典意义下的调和分析取代. 详情可参看 [2]. Kahane (1996) 进一 步发展了Wiener 的进路, 其关键在于所谓的“Fourier 公式”3.3 . 本文旨在介绍 Kahane 的证明. 在此必须指出这个证明既非最短, 亦不初等, 优雅与否则待读者自行 评断; 但是此一证明的思路清晰, 技巧也颇堪玩味, 并且能处理更一般的Beurling 广义素数 [4]. 我们假定 读者有基本的分析学知识; 对多数的证明将只述梗概, 部分结果则留给读者自证. 全文大致按照 Bost 的 讲义 [1] 铺陈, 并无创新; 一切错訛当属本人之咎. 2 函数的若干性质 定义 函数 ∑ ∏ Re 素数 以上的无穷级数及无穷乘积绝对收敛. 定理 2.1. 函数 满足下性质 1. 可延拓为 上的亚纯函数; 2. 仅在 处有点, 是点并满足 Res ; 0本文源自笔者 2012 年 5 月某日于西南交通大学峨眉分校的报告底稿. 1 3. 若 Re 则 ̸ . 注 2.2. 定理2.1 的最后一个性质将是素数定理证明的关键. 这也可以从Kahane 的Fourier 公式及调 和分析得出, 详阅 [1]. 定义 ∑ Re 素数 易见此无穷级数绝对收敛. 以下, 符号log 皆表示对数函数log 在 上标准的解析延拓. 命题 2.3. 函数 满足下性质 1. 可延拓为 ̸ Re 上的连续函数; 2. 在 Re 上局部可积; 3. 当 充分小, log ( ) 连续项 4. 固定 , 当 近于时 log 证明. 设 log , Re .