中值定理教案.docVIP

(一) 课程：《高等数学》第四章第1节 课题：中值定理 说明：中值定理是微分学的基本定理，是用导数研究函数某些性态的理论基础，是从局部性质推断整体性态的有力工具。 (二) 教学方式：多媒体教学，讲解为主，练习辅助 (三) 教学目的： 1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 2、会验证罗尔定理的三个条件 3、掌握拉格朗日中值定理及其推论 4、了解柯西中值定理 (四) 教学重点、难点： 如何理解罗尔定理和拉格朗日中值定理的证明过程和条件的判断，应用拉格朗日中值定理的推论进行等式证明 (五) 教学过程： 一、复习和导入 1、连续函数在闭区间上的性质：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值。 2、导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数表示曲线y=f(x)在M0(x0,y0)处的切线的斜率。 3、导入： 若函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b）内处处有不垂直于x轴的切线，并且f(a)=f(b)，如图： 则f(x)在[a,b]内必有最大值和最小值，对应的点为C、D 学生思考：在C、D两点的曲线切线有何特点？ 教师点评：切线与x轴平行，斜率为0 即 二、新课讲授 1、罗尔定理：如果函数f(x)满足下列条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内具有导数； （3）在端点处函数值相等，即f(a)=f(b) 则在(a,b)内至少有一点ξ，使 f’(ξ)=0. (定理的证明可以根据学生的具体情况选择教学) 证明：f(x)在闭区间[a,b]上连续，由闭区间上连续函数的最大值最小值定理，f(x)在闭区间[a,b]上必有最大值M和最小值m，仅有两种可能情况： (1)M=m. ∵m≤f(x) ≤M ∴f(x)在[a,b]上为一常数，即f(x)=M， ∴f’(x)在(a,b)内恒为0，即任意ξ∈(a,b)，有f’(ξ)=0. (2)Mm. ∵f(a)=f(b)，这时M、m中至少有一个不等于f(a)，设M≠f(a) ∴在(a,b)内至少有一点ξ，使f(ξ)=M，下面证f’(ξ)＝0： ∵ f’(ξ)存在，即存在，由极限存在的条件,有 又∵f(ξ)=M是f(x)在[a,b]上的最大值 ∴无论△x0还是△x0，只要ξ+△x在[a,b]上，总有 f(ξ+△x)≤f(ξ)，即f(ξ+△x)－f(ξ)≤0 当△x0时，有 根据函数与极限的同号性定理，得 同理，当△x0时，有 故 f’(ξ）＝0 证毕. 例1 下列函数中在[-1,1]上满足罗尔定理三个条件的函数是： (1) f(x)= (2) f(x)= (3) f(x)=ln(x+2) (4) f(x)= 解：(1)定义域：x≠±1，条件1不满足 (2)定义域：R，连续，，可导，但f(-1)≠f(1)，条件3不满足 (3)定义域：x-2，连续，，可导，但f(-1)≠f(1)，条件3不满足 (4)定义域：R，连续，，当x＝0时导数不存在，条件2不满足。 教师总结： 验证函数是否满足罗尔定理的方法： (1)求f(x)的定义域，分析[a,b]是否为定义内的区间，从而判断f(x)在[a,b]是否连续 (2)求f’(x)，判定f(x)在(a,b)内是否可导 (3)求f(a)，f(b) 例2 验证f(x)=(x-1)(x-3)在[1,3]上满足罗尔定理的三个条件，并求出ξ。 解：f(x)定义域为(-∞,+∞)，∴f(x)在[1,3]上连续，而 ∴ f(x)在(1,3)内可导，又∵f(1)=f(3)=0 ∴ f(x)满足罗尔定理，即存在ξ∈(1,3)，使 f`(ξ)=2 ξ－4=0 ∴ ξ＝2 练习：课本P155 第1，2题 评讲练习 注意：罗尔定理三个条件缺一不可 教师逐一说明 2、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足下列条件： （1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内具有导数. 则在(a,b)内至少有一点ξ，使得 f(b)－f(a)＝f`(ξ)(b－a) 几何意义：如果连续曲线y=f(x)上的弧AB除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在这弧上至少有一点C，使曲线在点C的切线平行于弦AB (定理的证明可以根据学生的具体情况选择教学) 证明分析：可配套课件演示 证明：引进辅助函数 由定理的假设可知：g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有导数