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數學傳播 33 卷 2 期, pp. 52-62 均值定理的統合與推廣 蔡聰 明 在微積分中, Rolle 定理、Lagrange 的均值定理 (Mean-Value Theorem, 簡記為 MVT), 以及 Cauchy 推廣的均值定理 , 堪稱為微積分的基石, 它們是僅次於微積分根本定理的重要定 理。 本文我們要把它們統合在三元均值定理之下, 並且給出幾何解釋。 進一步再推廣成 n 元與 高維空間的均值定理。 連貫的知識對於了解與學習都大有助益。 整個推演的出發點是: 定理 1: (Fermat 的內點極值定理 , 1629 年) 設 I ⊂ R 為一個區間, f : I → R 為一個函數, 並且 x0 ∈ I。 如果下列三個條件成立: (i) x0 為 I 的內點; (ii) f (x ) 為 f 的極值; 0 (iii) f 在 x0 點可微分。 ′ 那麼就有 f (x ) = 0。 反之不然。 0 3 ′ 反例: 設 f (x) = x , x ∈ R , 則 f (0) = 0。 我們觀察到: x = 0 是內點, 且 f 在此點 ′ 可微分, 但是 f 為遞增函數, f (0) 既不是極大值, 也不是極小值。 這表示, 由 f (x ) = 0 以及 0 (i) 與 (iii), 無法推導出 (ii)。 1. Rolle 定理 法國數學家 Rolle (1652−1719) 在解方程式時, 觀察到多項函數的行為, 例如 g (x) = 2 ′ x − 5x + 6 及其導函數 g (x) = 2x − 5 的根之間具有密切關係: 在方程式 g (x) = 0 的兩個根 x = 2 與 x = 3 之 間, 必存在有 ′ c ∈ (2, 3) 是導函數方程式 g (x) = 0 的根 , 此地 c = 2.5。 推而廣之, Rolle 就得到下面重要的結果。 這只要利用連續函數的極值定理與 Fermat 的 內點極值定理就可以證明。 52 均值定理的統合與推廣 53 定理 2: (Rolle 定理 , 1690 年) 假設 f : [a, b] → R 為一個函數。 如果下列三個條件成立: (i) f 在 [a, b] 上連續; (ii) f 在 (a, b) 上可微分; (iii) f (a) = 0 = f (b)。 ′ 那麼就存在 c ∈ (a, b), 使得 f (c) = 0。 證明: 因為 f 在 [a, b] 上連續, 所以 f 在 [a, b] 上取到最大值與最小值, 亦即存在 α, β ∈ [a, b], 使得 f (α) ≤ f (x) ≤ f (β ), ∀ x ∈ [a, b] ′ 若 α 與 β 皆為端點, 由 (iii) 知, f 為常函數, 取值 0。 因此, 任取 c ∈ (a, b) 都有