空间角的解法探析.doc.docVIP

【摘要】空间向量是求解立体几何问题的一个重要工具，也是高考的一个重点.高考对空间向量的考查一般不单独命题，而是在解答题中以一些综合性问题的形式进行考查，如空间中线面位置关系的论证，空间各种角的求解等.本文对空间角从定义、范围、求法等方面进行了整理，概括. 【关键字】 空间角 立体几何 空间向量 立体几何是高中数学的重要内容，在高考中占有较大的比重，高考试卷中立体几何把考查的立足点放在空间图形上，突出对空间概念和空间想象能力的考查. 宁夏自进入新课改以来，从2007-----2010年连续四年高考数学卷在立体几何大题考查中均涉及到了空间角的求解.空间向量是求解立体几何问题的一个重要工具，也是高考的一个重点.高考对空间向量的考查一般不单独命题，而是在解答题中以一些综合性问题的形式进行考查，如空间中线面位置关系的论证，空间各种角的求解等.普通高中《数学课程标准（实验）》对空间两条直线、直线与平面、平面与平面所成的角，即空间角的考查要求为：能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用.本文仅对空间角从定义、范围、求法等方面进行了整理，概括. 1 高考数学宁夏卷立体几何大题回顾 （2007年·理科·T18） 如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点． （Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值． （2008年·理科·T18） 如图，已知点在正方体的对角线上，. (1)求与所成角的大小；(2)求与平面所成角的大小； （2009年·理科·T19） 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. （Ⅰ）求证：AC⊥SD；21世纪教育网 （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，2使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由. （2010年·理科·T18） 如圈己知⊥BD垂足为H)证明：PE⊥BC； （Ⅱ）若==60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值. 2 空间角 2.1 异面直线所成的角（线线角） 异面直线定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 异面直线所成角的定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）(如图1) 图示 如图2中异面直线所成的角转化为直线所成的角. 范围 求法 几何法：先通过取点面作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形. 向量法：若两异面直线的方向向量分别为，异面直线所成的角为，则 . 2.2 直线与平面所成的角（线面角） 定义 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角. 特别地，当直线和平面平行时，直线与平面所成的角为0.当直线和平面垂直时，直线与平面所成的角为. 图示 如图3中即为直线与平面所成的角. 范围 . 求法 几何法：利用定义作出线面角，化归到含这个角的直角三角形中求解. 向量法：求出直线的方向向量，平面的法向量，设线面所成的角为，则. 2.3 二面角（面面角） 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角来度量. 范围 . 图示 如图4-1和图4-2中即为二面角的平面角.其中在图4-1中二面角的大小与两平面的法向量所成的角相等，在图4-2中二面角的大小与两平面的法向量所成的角互补. 求法 几何法：定义法；垂面法；垂线法；特殊图形法. 向量法：求出二面角的两个半平面和的法向量，计算 的值. 则二面角的大小为或. 2.4 空间角之间的联系 3 案例 （2008年高考宁夏卷·理科·T18） 如图，已知点在正方体的对角线上，. (1)求与所成角的大小； (2)求与平面所成角的大小； (自编)(3)求二面角的余弦值. 【命题立意】本题以非常常见的正方体为载体，考查空间角的求解以及学生的空间想象能力空间思维能力和运算能力.方法灵活，可用向量法，也可用几何法. 【规范解答】 向量法求解 解法一