公因數的妙用.pdfVIP

科別：數學科 組別：國小組 作品名稱：公因數的妙用 關鍵詞 ：最大公因數 、互質 、整數解 編號：080405 學校名稱： 高雄市三民區愛國國民小學 作者姓名： 陳閎鈺、鐘博宇、劉翰穎、邱鈺庭、陳秉謙 指導老師： 曹秀美、王雅芳 摘要 本研究在探討任意二個正整數 a ,b的最大公因數與 a – b、b (或 a )的關係；並 將公因數的觀念應用於解決日常生活中的數學問題。 一、結果發現： (一) 若 a、b 不互質 ，即 (a，b )=d 1，則必須 d 為 c 的因數 ，ax＋by =c 才有 x、y 的整數解。並且找出如何得到 x、y 的整數解的具體方法。 (二) 若 a、b 互質且 α ,β 是 ax＋by =c 的一組整數解 ，那麼 x 的任意整數 解就可表成是 α +bk，y的任意整數解就可表成是 β – ak。其中 k 為任 意整數( 或 x 的解是 α – bk，y 的解是 β +ak 亦可)。 二、在公因數的應用上則得出： (一) 任意給定二個容量為 a ,b 的容器時，可先判斷能否量出容量為 c 大小 的溶液；若能量出，則由 ax＋by =c 的整數解，就可以有一相對應的準 則，能很有規律地倒出容量為 c 的步驟與方法。 (二) 如果要將一容量平分成二等分，第一步驟仍要先判斷是否有解；有解之後，再 求出一整數解，然後再仿(一)的方法進行平分動作。 (三) 利用求整數解的過程，也順道解決了 ：某整數 x 除以 m 餘 a ,除以 n 餘 b , 但 m – a≠n – b 時, 我們找到至少一組求出整數 x的方法。 壹、研究動機 一 、有一次，老師要我們去算二個數 675 與 100 的最大公因數 ，但我一時糊塗 卻把 675 看成是 575，心想這下一定完蛋了 ，可是沒想到 ，咦 ！答案竟然一樣都是 25 耶！ 因為 675與我看錯的數字 575恰好相差 100，也就是剛好要求最大公因數的另 外那一個數字 ，於是我就興起一個念頭 :任意二個正整數 a ,b 的最大公因數 ，是否 必等於 a – b 與 b (或 a) 的最大公因數 ? 二、有一次實驗課，老師給了我們兩個容量為 3公升與 5公升的大小寶特瓶，要 我們去量 出 4公升 ，我們費了好大的功夫 ，來來回回亂倒一通才得出 4公升的水容量 。 才過沒多久 ，我們就已經把剛才如何得出 4公升的方法忘掉了 ，等下一組的人要倒時 ， 我們也沒法作經驗傳承 。於是就興起一個念頭，想要去探討：該如何找出一固定倒的 方法來 ，而不會盲目浪費掉許多手續 ？於是我就把這個疑 問去問老師 ，就在老師的帶 領下，開始探討這個有趣的數學問題。 1 貳、研究目的 一、探討任意二個正整數 a ,b的最大公因數與 a – b ,b (或 a )的關係。 二、將公因數的觀念應用於日常生活中，解決日常生活中的數學問題。 參、研究過程與方法 一、找出任意二個正整數 a ,b的最大公因數與 a – b 、 b (或 a )的關係。 (一)驗證任意二個正整數 a ,b 的最大公因數，是否必等於 a – b 與 b (或 a ) 的最大公因數 ? 【例 1】675與 100：( 675 , 100 ) = ( 675 – 100 , 100 ) = ( 575 , 100 ) = 25 【例 2】32與 24：( 32 , 24 ) = ( 32 – 24 , 24 ) = ( 8 , 24 ) = 8 【例 3】72與 132：( 72 , 132 ) = ( 72 , 132 – 72 ) = ( 72 , 60 )= 12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 等等，屢試不爽，於是我們整理出如下的定理： 定理一 ：對任意兩正整數 a ,b ,若 a b, 則必 (a ,b ) = (a – b ,b ) (二)既然得知 (a ,b )= (a – b ,b ) ,我們可再